选择必修第二册 第四章 4.1 数列的概念（第2课时） 课件(共21张PPT)

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第四章 数列
4.1 数列的概念（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题． 1.逻辑推理素养和数学运算素养.
2.理解数列的前 n 项和公式的定义，会利用前 n 项和公式与通项公式的关系求通项公式． 2.数学抽象素养和数学运算素养.
温故知新
1.数列的概念
把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列{an}是从正整数集N﹡(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n)．
2.数列的分类
类别 含义
按项数
按项的变化趋势
有穷数列
无穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做有穷数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列
常数列
各项都相等的数列叫做常数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，叫做摆动数列
温故知新
3.数列的表示
①按顺序一一列举：a1，a2，a3，…，an，… 简记{an}
②列表法
③图象法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
④通项公式法
新知探究
【例1】如果数列{}的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
令n2+2n=120 ，
n=-12(舍)或n=10，
解：
分析：要判定120是不是数列{}中的项，就是要回答是否存在正整数n,使得n2+2n=120.也就是判断这个关于n的方程是否有正整数解.
所以，120是数列{}中的项，是第10项.
解这个关于n的方程，得
思考：已知数列通项，我们可以解决哪些问题呢？
①可以知道数列中的某一项的值；
②可以判断这个数值是不是该数列的项.
初试身手
⑴∵f(x)＝，
1. 已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
⑴求证：an>-2;
⑵数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
∴.
又n∈N*，
解：
∴an>-2.
⑵数列{an}是递减数列.
∵，
∴<0,
即an＋1∴数列{an}是递减数列.
知新探究
在图中⑴⑵⑶⑷中，着色三角形个数依次为
1,3,9,27
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
【例2】图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式
解：
因此，这个数列的一个通项公式是an=3n-1.
思考：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
知新探究
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
1
3
9
27
×3
×3
×3
.......
3an-1(n≥2)
1（n=1）
an=
从第二项起，后一项是前一项的三倍
知新探究
象这样，
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
观察下面的数列，你能发现什么结论？并用数学语言表示出来.
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
从第3项起，每一项都等于它的前面两项的和.
即.
裴波那契数列
知新探究
象这样，
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
递推公式也是数列的一种表示方法.
思考：递推公式和通项公式有什么区别和联系？
通项公式 递推公式
联系 区别 定义
求解
都能确定一个数列
项与序号的关系
项与项的关系
不需要其它条件
需要初始条件
知新探究
【例3】已知数列{an}的首项为a1=1，递推公式为,写出这个数列的前5项.
解：
由题意可知
a1=1，
，
，
，
.
知新探究
在数列研究中，求数列某些项的和是主要研究问题之一.
例3中，可以求出这个数列的前5项和.
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题.
显然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ，于是我们有
.
当n≥2时，有
Sn=a1+a2+…+an. ①
Sn-1=a1+a2+…+an-1. ②
由①-②得
an=Sn-Sn-1.
知新探究
∵a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
= n2+n-[(n-1) +(n-1)]
=2n.
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
∴{an} 的通项公式是an=2n.
已知数列{an} 的前n项和公式为 Sn =n2 +n，你能求出{an} 的通项公式吗？
初试身手
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-n2+5 ，求{an}的通项公式.
解：
当n=1时，a1=S1=-1+5=4;
将n=1代入①式得，-2+1=-1≠4=a1，
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=-(n2+5)-[-(n-1)2+5]=-2n+1. ①
∴当n=1时，①式不成立.
∴.
知新探究
【例4】已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求数列{an}的通项公式an.
解：
∵,
∴.
以上各式累加，得
.
∵a1＝－1，,
∴.
当n=1时，a1＝－1，符合上式.
∴数列{an}的通项公式为.
初试身手
∵a1＝1，an＝(n≥2)，
∴,
3.设数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式an.
.
.
解：
当n=1时，a1＝1，符合上式.
∴数列{an}的通项公式是.
课堂小结
1.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
2.数列的前n项和
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
递推公式也是数列的一种表示方法.
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
.
作业布置
作业： P8 练习 第3,4题
P8-9 习题4.1 第2⑶⑷,4，5,6,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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