8.1.3向量数量积的坐标运算 同步练习（含解析）-高中数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.3 向量数量积的坐标运算（同步练习）- 高中数学人教B版（2019）必修第三册
一、选择题
1．已知向量，满足，，，则( )
A. B.1 C. D.2
2．已知平面向量、满足,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．已知向量，，若，则( )
A. B. C.1 D.2
4．已知两非零向量与的夹角为，且，，则( )
A.8 B.6 C.4 D.2
5．若，，且，则( )
A.1 B. C. D.或
6．已知,,且,则( )
A. B. C.或 D.
7．已知，，则( )
A. B. C. D.
8．已知向量，，若，则( )
A.4 B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,,则( )
A.若,则
B.若,则
C.的最小值为2
D.若向量与向量的夹角为钝角,则t的取值范围为
10．已知向量，，若，则( ).
A. B.C. D.
11．已知是边长为1的等边三角形,点D在边上,且,点E是边上任意一点（包含B,C.点）,则的取值可能是( )
A. B. C.0 D.
12．已知向量，，，若，则实数m的值可以为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
三、填空题
13．已知向量，，且，则________.
14．已知向量,满足,,,且,则________
15．在边长为2的菱形中，M，N分别为，的中点，，则__________.
16．已知平面向量,,则________________.
四、解答题
17．已知向量，，函数，且的图象过点和点.
（1）求m，n的值；
（2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间.
18．对于向量集,记向量.如果存在向量,使得,那么称是向量集的“长向量”.
（1）设向量,.若是向量集的“长向量”,求实数x的取值范围;
（2）设向量,,则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由;
（3）已知均是向量集的“长向量”,其中,.设在平面直角坐标系xOy中的点集,其中,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最小值.
19．设平面内两个非零向量的夹角为,定义一种运算“”:.
试求解下列问题,
（1）已知向量,满足,,,求的值;
（2）在平面直角坐标系中,已知点,,,求的值;
（3）已知向量,,,求的最小值.
20．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，
则，即，解得，，
则，
.
故选：B.
2．答案：A
解析：设,又,,
因为,所以,
所以在以为圆心,4为半径的圆上,又,
则,即.
故选:A.
3．答案：D
解析：因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
4．答案：C
解析：，
整理可得：，解得：或（舍）.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，所以，
所以，即或.
故选：D.
6．答案：B
解析：,
故选:B.
7．答案：B
解析：因为，，所以，，
所以.
故选：B
8．答案：A
解析：因为，所以，解得.
9．答案：AB
解析：已知,
若,则,解得,A选项正确;
若,则,解得,B选项正确;
,,
当时,有最小值,C选项错误;
当时,,,
向量与向量的夹角为,D选项错误.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：，则，即，即；，所以.故选：AC.根据向量平行得到，得到，再计算模长得到答案.
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.
11．答案：AB
解析：设BC的中点为O,以点O为坐标原点,,所在直线分别为x,y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
由于是边长为1的等边三角形,且,
所以,,设,则,
所以,,
所以,所以,
即,
故选：AB.
12．答案：ABC
解析：因为，所以，
解得或0或-1.
故选：ABC.
13．答案：
解析：因为，，所以，又，
所以，解得，所以，故.
故答案为：.
14．答案：
解析：由向量满足,,
因为,可得,解得,即,
所以.
故答案为:.
15．答案：
解析：记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立 ① ② 解得，
所以，
因为，所以，.
所以，，
以O为原点，，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
所以，
所以.
故答案为：
16．答案：2
解析：由向量,,得,
所以.
故答案为：2.
17．答案：（1）
（2）函数的单调递增区间为，
解析：（1）由题意知.因为的图象过点和，
所以
即解得.
（2）由（1）知，令，，.
，
.
由题意知.
设的图象上符合题意的最高点为，由题意知，
所以，
即到点的距离为1的最高点为.
将其代入得，
因为，所以，
因此.
由，得，，
所以函数的单调递增区间为，.
18．答案：（1）
（2）存在“长向量”,且“长向量”为,
（3）4044
解析：（1）由题意可得：,,,
则,解得：;
（2）存在“长向量”,且“长向量”为,,理由如下：
由题意可得,若存在“长向量”,只需使,
因为,,,,,,
所以,
故只需使,
即,即,
当或6时,符合要求,故存在“长向量”,且“长向量”为,;
（3）由题意,得,,即,
即,同理,
三式相加并化简,得：,
即,,所以,
设,由,解得,
即
设,则依题意得：,
得,
故,
,
所以,
因为
所以,
当且仅当时等号成立,
所以
19．答案：（1）2
（2）7
（3）9
解析：（1）由已知,得,.
所以,即.
又,所以,.
所以;
（2）设,,则,,
所以,.
,
所以,.
又,,所以;.
（3）由（2）得,.
故,
,
当且仅当,即时等号成立
所以的最小值是9.
20．答案：
解析：M，N分别是BC，AC的中点，
，.
与的夹角等于，.
，
，
，
.