湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）（含答案）

湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为，，是偶函数，，，有，则( )
A. B. C. D.
5.若正四棱锥的高为，且所有顶点都在半径为的球面上，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左顶点为，是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10.在长方体中，，点满足，其中，，则( )
A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
B. 当时，平面
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，的最小值为
11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
14.设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角所对的边分别为，已知．
求；
若为边上一点，，求．
16.本小题分
如图，三棱柱中，，，，，．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战若开始基础分值为分，每轮答题，都答对得分，仅答对题得分，都答错得分若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败．
当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望
当时，求机器人在第轮答题结束且挑战成功的概率．
18.本小题分
已知椭圆：的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为，是椭圆的左、右顶点，过，分别做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点，在的左侧，并过，两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．
求椭圆的标准方程；
若，直线与的斜率分别为与，求的值；
求证：．
19.本小题分
对于函数，若实数满足，则称为的不动点已知，且的不动点的集合为以和分别表示集合中的最小元素和最大元素．
若，求的元素个数及
当恰有一个元素时，实数的取值集合记为．
(ⅰ)求
(ⅱ)若，数列满足，，集合，求证：，．
参考答案
1.
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8.
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12.
13.
14.或
15. ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
法：如图在 中，由余弦定理
，即 ，
在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 ，
因为 ，故 ，
在 中 ．
法：同解法 ，在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 ．
法同上 ，在直角 中 ，所以 ，
由问知 ，所以 ，
即 ，得
即 ，所以 ， ．
法如图由知 ，则 ，
因为 ，所以
，
即 ，解得 ，
所以 ，即 ，
在 中，由正弦定理 ，即 ，
解得 ．

16.证明：因为，，，
由余弦定理得，
所以，
所以，又因为，
且，、平面，
所以平面．
解：由已知和得，、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，，，，
，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，令，，
，令，，
直线与平面所成角的正弦值为，
又，解得，
即，，
设平面与平面夹角为，
则．
17.解：当时，第一轮答题后累计得分所有取值为，，，
，，，
所以第一轮答题后累计得分的分布列为：
所以．
当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件，
此时情况有种，分别为：
情况前轮答题中，得分的有轮，得分的有轮，第轮得分
情况前轮答题中，得分的有轮，得分的有轮，第、轮都得分：
所以．
18.解：由题意，有，解得，
即椭圆标准方程为：；
设过点的切线方程为，
则，
联立，有，
由于相切，令，
则，
即，
即，得
设，延长线交轴于点，
、两点处切线斜率分别是和，有，
设椭圆上或两点切线方程为联立有，
，
得，
由，得，
即，
则，，
又，
要证明，需证明，
即要证，
即要证，
即要证，
其中，显然成立，
故．
19.解：当时，，其定义域为
由得，设，则．
当时，当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
注意到，所以在恰有一个零点，且，
又，所以，所以在恰有一个零点，
即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点，
所以，所以的元素个数为又因为，所以．
当时，由知，有两个元素，不符合题意
当时，，其定义域为由得，．
设，则．
设，则．
当时，，，，所以在单调递增．
又，所以在恰有一个零点，
即在恰有一个不动点，符合题意；
当时，，故F恰有两个零点，
又因为，，所以．
当时，，当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增
注意到，所以在恰有一个零点，且，，
又时，，所以在恰有一个零点，
从而至少有两个不动点，不符合题意；
所以的取值范围为，即集合
由知，，所以，
此时，，，由知，在单调递增，
所以，当时，，所以，即，
故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，
重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，，．
下面我们先证明当时，设，
则当时，，所以在单调递减，
所以，即当时，，
从而当时，，
从而，即，
故，即，由于，，所以，，
故，故时，．
所以，，故．
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