2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知则( )
A. B. C. D.
3.已知，若，则，( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，则“”是“的公比为”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数则图象上关于原点对称的点有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
7.已知函数，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象若方程在上有两个不同的解，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在边长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是______．
13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则塔的高度 ______米
14.已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求及数列的通项公式；
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
16.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且有．
求角；
若边上的高，求．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连结，，且，如图．
求证：图中的平面平面；
在图中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数，且与轴相切于坐标原点．
求实数的值及的最大值；
证明：当时，；
判断关于的方程实数根的个数，并证明．
19.本小题分
对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得出一个奇数，记这个奇数为若，则称正整数为“理想数”．
求以内的质数“理想数”；
已知求的值；
将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前项和为，证明：．
参考答案
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15.解：由题意，当时，，解得，
当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由可得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
，
，
，
，
两式相减，
可得
，
．
16.解：因为，
由正弦定理可得，
而，
所以，
在三角形中，，
所以，
即，因为，
可得，
可得；
因为边上的高，
所以，
又，
由可得，
由正弦定理可得，
可得，
因为，
所以．
17.解：证明：连接，
由题意，，，
则为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
故，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
所以，
化简得，解得或舍去，
所以，
设平面的法向量为，
则，有，可取，
所以点到平面的距离为．
18.解：由题意知，且，，
，
，解得，
，，
当时，，，故，故在区间上单调递减，
则，
当时，令，则，
，，，
在区间上单调递减，，
在区间上单调递增，则，即时，函数取得最大值，
综上所述，，的最大值为；
证明：要证，即证，
记，，
当时，，，，
当时，记，则，
在区间上单调递减，则，在区间上单调递减，
，
综上所述，当时，；
解：有个不相等的实数根，证明如下：
设，
，
当时，由知，故，
故在区间上无实数根．
当时，，因此为的一个实数根．
当时，单调递减，又，，
存在，使得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
又，
在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．
当时，，
令，
，
故在区间上单调递减，，
于是恒成立，故在区间上无实数根，
综上所述，有个不相等的实数根．
19.解：易知，，，，，后续直到都不满足条件，
和为两个质数“理想数”；
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为或．
证明：显然偶数“理想数“必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：，，，，，
若奇数，不妨设，
若为“理想数“，则，且，即，且，
当，且时，；
当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数“，且，
显然为奇数“理想数“，所有的奇数“理想数“为，
所有的奇数“理想数“的倒数为，
，
，
即．
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