湖南省长沙市百强校2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷（含答案）

湖南省长沙市百强校2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为( )
A. B. C. D.
5.年，火箭专家、航天之父康斯坦丁齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气速度为( ) 参考数据：，，
A. B. C. D.
6.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，则该质点共两次到达的位置的概率为( )
A. B. C. D.
8.设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与为异面直线 B. 直线与所成的角为
C. D. 平面
10.已知是圆：上的动点，直线：与：交于点，则( )
A. B. 直线与圆相切
C. 直线与圆截得弦长为 D. 的值为
11.已知三次函数有三个不同的零点，，，函数也有三个零点，，，则( )
A.
B. 若，，成等差数列，则
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从二项分布，若，，则____．
13.已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为____．
14.如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，，分别
在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积为____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，且的面积为，求的值．
16.本小题分
设，．
若，求在处的切线方程；
若，试讨论的单调性．
17.本小题分
已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．
证明：；
当为的中点，且，若与平面所成的角为，求锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，两点．
若轴，求线段的长；
若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴于点．
若，求直线的方程；
若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围．
19.本小题分
已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定．
若，求，，的值；
若，设的前项和为，求2；
若数列是等差数列，求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理得，
因为，所以，故，
因为在中，，所以；
因为，
由正弦定理的边角互化可得，
由余弦定理可得，即，
所以，所以，
则，
解得．
16.解：当时，，知，
于是，，
故切线方程为，即；
函数的定义域为，且，
若，则，知有唯一解，
故在上单调递减，在上单调递增
若，则令，有两解，
，则当，即时，在上递增，
在上递减，在上递增
当，即时，知，
故在上单调递增
当，即时，在上递增，在上递减，在上递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在上递增，在上递减，在上递增
当时，在上单调递增
当时，在上递增，在上递减，在上递增．
17.证明：连接交于，
因为为菱形，
所以，且为、的中点，
，
．
，且面、面．
面．
面，
．
平面，且面平面，面，
．
．
解：由得且，
，且为中点，
，
又，面，面，
面，
与平面 所成的角为．
可得，，
，
．
以为原点，建立如图的空间直角坐标系．
记，，，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
由，取，可得．
设平面的法向量为，
由，取，可得
，
所以锐二面角 的余弦值为．
18.解：因为，，所以，
所以，
当直线过点且轴，直线方程为，
代入双曲线方程，解得，
所以．
如图所示，
设，，，
联立得，
因为与双曲线左、右两支相交，
故即，
此时，
故，同理，
，
，
由，得，
而，，
代入可得，解得，
所以，经检验此时满足且，
故存在满足条件的直线，其方程为．
依题意可知，，即，
由可知，
即，故，
故，
因此，
即直线的斜率
19.解：，，，
故，，．
依题意，，，则，，
当，时，，
当时，则满足的元素个数为个，故，
故，
．
注意到，
．
由题可知，即，所以．
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾，所以．
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以．
假设存在使得设，由得．
由得，，与是等差数列矛盾．
所以对任意都有．
所以数列是等差数列，．
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