2024-2025学年辽宁省鞍山一中高三（上）月考数学试卷（二模）（含答案）

2024-2025学年辽宁省鞍山一中高三（上）月考
数学试卷（二模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
3.在中，点、在边上，，设，，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，其中，则是偶函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若在有唯一的零点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处有极大值，则常数的值为( )
A. 或 B. C. D.
8.已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为坐标原点，，，，则( )
A. 方向的单位向量为
B. 若，则点的坐标为
C.
D. 在上的投影的数量为
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 在区间有两个极值点
C.
D. 直线是曲线的切线
11.中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是( )
A.
B. 不能构成三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，均为有理数，则为有理数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量，满足，则的最小值为______．
13.函数的值域为，则实数的取值范围是______．
14.如图，圆内接四边形中，为直径，，则的长度为______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求的最小值；
当时，判断的单调性不用证明，并借助判断的结论求关于的不等式的解集．
17.本小题分
在中，为的中点，，记，．
证明：或；
若，且，求的最大值．
18.本小题分
如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为．
求和的值；
已知，，，求的值．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上单调递增，求正实数的取值范围；
时，证明：．
参考答案
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15.解：等差数列的前项和为，
设数列的公差为，
由，，可得，，
解得，，
；
由已知，
时，；
时，．
综上，．
16.解：函数．
为偶函数，
可得，即，
可得
可得，
那么．
令，则当且仅当，即时取等号．
的最小值为；
令单调递增函数，
则也是单调递增函数，
是上的单调递增函数；
又，
那么，
即，
，
即，
解得，
故不等式的解集为．
17.证明：因为，，
所以，
所以，
由正弦定理，在中，可得；
在中，可得，
又，所以，
即，即，
因为，所以或，
即或；
解：当时，
因为，所以，
所以，
由已知，矛盾；
当时，，
所以，则，
所以，即，
又，所以的最大值为．
18.解：函数的图象与轴相交于点，可得，
，
，
，
又函数的图象在轴右侧的第一个零点为，可得，，
，，
由图象可知，
，
，
；
由知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
19.由题意可得，，
记，则，且等号不同时成立，
在上单调递增，且，
时，；时，，
的单调递减区间是，单调递增区间是；
若在上单调递增，则恒成立，
设，则，
当时，，令，
时，，
在上单调递增，由得，
，又，
在上存在唯一解，记为，
时，，即，在上单调递减，
，即，不符合题意；
当时，，且当时，，，
在上单调递增，符合题意；
综上，；
证明：，时，，
，
故，
，
即．
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