2024-2025学年黑龙江省鸡西市鸡西实验中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省鸡西实验中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知是第四象限角，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则其在区间上的极大值点与极小值点之差为( )
A. B. C. D.
6.函数在上存在极大值的充分条件是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下列结论中错误的是( )
A. 的图象关于点 中心对称 B. 的图象关于 对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题：，的否定为，
B. 已知扇形的圆心角为弧度，面积为，则扇形的弧长等于
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 已知函数的值域为，则的取值范围是
10.已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A. B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间有两个极值点 D. 在区间单调递增
11.设，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则的值为______．
13.已知函数，则函数的单调递减区间是______．
14.已知，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数，的部分图象如图所示，
求的解析式；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；若，，求的值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求该曲线在处的切线方程；
求的单调区间．
18.本小题分
已知函数．
求函数的周期和对称中心；
求函数在上的单调递增区间；
当时，求函数的值域．
19.本小题分
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等记为的导数现有如下定理：在区间上为凸函数的充要条件为．
证明：函数为上的凸函数；
已知函数．
若为上的凸函数，求的最小值；
在的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
解得；
由，，
得，
由，得，解得，
又，
所以．
16.解：由函数的部分图象知，，最小正周期为，
所以，即；
由，得，
且，所以，
所以
把函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，
再把横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变，得，
当时，，则，即，，
所以．
17.解：当时，，，
，则，
所以曲线在处的切线方程为．
由题意可得的定义域为，且，
当时，恒成立，故函数在上单调递减；
当时，令，解得，函数在上单调递减；
由，解得，在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：
当时，在上单调递减；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．
18.解：，
所以的最小正周期；
令，得，
即的对称中心为；
令，
得，
令，得；
令，得，
所以函数在上的单调递增区间为，；
当时，，
，则，
则，
，
对称轴方程为，
则，
在单调递减，在单调递增，
所以当时，；
当时，，
所以函数的值域为．
19.证明：，
，，
，又，
，
故在区间上恒成立，即函数为上的凸函数．
解：，
，，
由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
令，对称轴为，
当时，取到最大值，最大值为，
，得到，
的最小值为．
证明：令，令，得到，
则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，
．
由知，
令，
则，
令，则在区间恒成立，当且仅当时取等号，
在区间上单调递增，得到，当且仅当时取等号，
即在区间恒成立，当且仅当时取等号，
即在区间上单调递增，
．
即当，，当且仅当时取等号，
，在上恒成立．
第1页，共1页