2024-2025北京市西城区鲁迅中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025北京市西城区鲁迅中学高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.函数是
A. 奇函数，且最大值为 B. 偶函数，且最大值为
C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为
9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. B. C. D.
10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为
12.边长为的正方形中，设，，，则 ．
13.设等比数列的公比为，其前和为，且，则 ．
14.如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值这段时间的最大温差为 ；的一个取值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，的最小值为；
当时，存在最小值；
的零点个数为，则函数的值域为；
当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，．
求；
若，求的面积．
17.已知函数在处取得极小值．
求的值，并求函数的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
18.已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
若，求函数的值域．
若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围．
19.某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得在同一平面内

求两点之间的距离；
判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上恒成立，求的取值范围；
试比较与的大小，并说明理由．
21.已知为有穷数列．若对任意的，都有规定，则称具有性质设．
判断数列是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合
若具有性质，证明：
给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
答案不唯一

15.
16.因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或．
由可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或．

17.，
由题意得，解得，
，定义域为，
，
令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为，
此时函数在处取得极小值，满足题意；
由知，故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
又，其中，
故在区间上的最小值为，
综上，在区间上的最大值为，最小值为．

18.
，
的最小正周期，
令，，
解得，
故单调递增区为，；
，，
故，，
故函数值域为；
函数，
即，，
故在上有且仅有两个零点，
等价于在上有且仅有两个解，
，，
要想在上有且仅有两个解，
则，解得，
故的取值范围为．

19.解：依题意， ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 ．
在三角形 中，由余弦定理得 ，
，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
，
直线 与直线 不垂直，理由如下：
，
所以直线 与直线 不垂直．

20.解：当 时， ，
，
所以曲线 在点 处切线的斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 即 ．
在区间 上恒成立，即 ，对 ，
即 ，对 ，
令 ，只需 ，
， ，
当 时，有 ，则 ，
在 上单调递减，
符合题意，
当 时，令 ，
其对应方程 的判别式 ，
若 即 时，有 ，即 ，
在 上单调递减，
符合题意，
若 即 时， ，对称轴 ，又 ，
方程 的大于的根为 ，
， ，即 ，
， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增， ，不合题意．
综上， 在区间 上恒成立，实数 的取值范围为 ．
由知，当 时， ，在区间 上恒成立，
即 ，对 ，
取 代入上式得 ，化简得 ．

21.解：由题知，
即
因为，
所以不具有性质，
由于，
即
因为
故具有性质，
因为
故
“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”，
假设两个元素均不在中，
则有
不妨设，
若，
则由，
可得，
与矛盾，
故，
同理，
从而，
所以，
与具有性质矛盾，
所以假设不成立，即
设
规定时，，
时，，
则，
所以，
考虑数列，
，
由题设可知，他们均具有性质，
设中元素个数最小值为，
所以，
所以，
由知，从而，
当时，令，
当时，令，
此时均有，
所以中元素个数的最小值为．

第1页，共1页