广东省花都区花山初级中学北师大版数学九年级下册课件：3.3垂径定理(1)（共25张PPT）

(共25张PPT)
创设情境,引入新课
复习提问:
（２）正三角形是轴对称性图形吗？
　
（１）什么是轴对称图形　
（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能
完全重合，这个图形就是轴对称图形。
有几条对称轴？
是
３
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
强调：
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
X
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.
（2）圆的对称轴有无数条.
O
C
D
合作交流,探究新知
一自主探究
结论：
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦　　　　　　AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合 如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？
A
B
E
O
C
D
二　合作学习
解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合，
AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
２.请你用命题的形式表述你的结论.
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
A
B
E
O
C
D
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
弧AD和弧BD重合．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
解
已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证：
EA=EB， AC= BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结ＯＡ，ＯＢ.
如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折，
那么被ＣＤ分成的两个半圆互
相重合.
∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
∴线段EA与线段EB重合.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明
OC平分AB吗？
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
结论2：
A
B
O
C
D
E
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧A B
结论
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
三　概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）
１.直径垂直于弦
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
O
C
D
E
直径平分弦所对的弧
直径平分弦
2.分一条弧成相等的两条弧的点,
叫做这条弧的中点.
例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.
⌒
⌒
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
垂径定理的几何语言叙述:
（条件）
（结论）
作法：
⒈ 连结AB.
⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C
D
A
B
E
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点的概念）
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.
⌒
⌒
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
　１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦
的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
B
C
BC就是所要求的弦
点D,E就是所要求的弦
所对的两条弧的中点.
D
E
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8.
由勾股定理得:
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
想一想:排水管中水最深多少
答:截面圆心O到水面的距离为6.
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
P77,课内练习2，P78，作业题1,2
　想一想：
　在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
　弦心距之间有什么关系？　
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
C
A
B
O
D
.
２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如
图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度．
C
D
Ｆ
解：
因为ＯＥ⊥ＣＤ，
过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，
⌒
O
Ｅ
所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）
连结ＯＤ．
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
3
3
1
４.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ
两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明
理由．
ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：
解：
过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，
则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
O
C
D
Ａ
Ｂ
Ｅ
同心圆是指两个
圆的圆心相同
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。
求证：
AC=BD
⌒
⌒
１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
D
10
8
6
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
如图， CD 为 ⊙ O 的直径， 弦 AB⊥ CD， 垂足为 E， CE = 1 寸， AB = 10 寸，
求直径 CD 的长．
2．如图，已知 ⊙O 的半径为 30 mm， 弦AB = 36 mm，求点O到 AB的距离及 ∠ OAB 的余弦值
3． 如图， 两个圆都以点 O 为圆心， 小圆的弦 CD 与大圆的弦 AB 在同一条直线上， 你认为 AC 与 BD 的大小有什么关系？ 为什么？
4． 如图， M 为 ⊙O 内一点， 画一条弦 AB， 使 AB 过点 M， 并且 AM = BM．
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；