乘法公式—人教版数学八年级上册知识点训练
一、夯实基础
1．（2024八上·农安期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
2．（2024八上·期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，
∴根据图形的变化过程，得到的等式是．
故答案为：B
【分析】根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解．
3．（2024八上·衡南月考）下列能用平方差公式直接计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
4．（2024八上·湖南月考）已知，则的值是（ ）
A．4 B．9 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
5．（2024八上·南海月考）如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
6．（2024八上·保定期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
7．（2024八上·哈尔滨月考）若，则．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
8．（2024八上·新邵期中）已知，则代数式值 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
9．（2024八上·长春月考）如图所示，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
10．（2024八上·洪山期末）已知是完全平方式，则常数 ．
【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，，
∴，
∴或，
故答案为：或.
【分析】利用完全平方公式求解即可.
11．（2024八上·农安期中）已知，求下列各式的值：
①
②
【答案】①13；②7
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
12．（2024八上·长春汽车经济技术开发月考）某同学化简出现了错误，解答过程如下：
解：原式第一步
第二步
第三步
（1）该同学的解答过程是从第______步开始出现错误的；
（2）写出此题的正确解答过程
【答案】（1）一
（2）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
二、能力提升
13．（2024八上·湖南期末） 若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式可得，再将代入计算求出的值即可.
14．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
15．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
16．（2024八上·璧山期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1可表示为，图2可表示为，所以 可以验证成立的等式为.
故答案为：D.
【分析】根据图1，图2，分别得出可表示的式子，再作判断.
17．（2024八上·农安期中）（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：__________．方法2：__________
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①，求和的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；；（2）①，；②
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
18．（2024八上·朝阳月考）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：______；图2：______；图3：______．
其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值．
解：∵，∴，
又∵，∴，
∴.即．
类比迁移：
（2）若，则______；
（3）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）12．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
19．（2024八上·长春汽车经济技术开发月考）阅读理解：
例：若，求和的值．
解：
即
，
，
我们把以上方法称为“拆项法”
请用拆项法解决问题：
（1），求的值；
（2）已知a，b，c是的三边长，满足，c是中的最短边长，且c为整数，那么c的值可能是______（有几个写几个）
【答案】（1）
（2）可取2，3，4
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
20．（2024八上·衡阳月考）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若，，求的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若满足，求的值”．
解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
①若满足，则___________．
②若满足，求的值；
③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）40
（2）①；②60；③106
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
三、拓展创新
21．（2024八上·昆明开学考）阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到．请解答下列问题：
（1）小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C；
（2）写出图中所表示的数学等式 ；
（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．
【答案】（1）12；35；41
（2）
（3）解：，
．
，，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：，
拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片．
故答案为：12；35；41；
（2）解：图2中的图片是边长为的正方形，
图2中的面积为：．
又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成，
图2中的面积为：．
图2中所表示的数学等式为：．
故答案为：；
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的方法去括号，利用计算结果即可求出答案.
（2）利用图形通过不同的方法计算图形的面积，即可求出答案.
（3）利用（2）中的等式适当变形计算即可求出答案.
（1）解：，
拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片．
故答案为：12；35；41；
（2）解：图2中的图片是边长为的正方形，
图2中的面积为：．
又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成，
图2中的面积为：．
图2中所表示的数学等式为：．
故答案为：；
（3）解：，
．
，，
．
22．（2024八上·绥阳期末）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若满足，则 ；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）15
（2）解：设，，
则，，
∴
，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴阴影部分的面积，
，
∴阴影部分的面积和为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：（1） 根据阅读材料的方法，设100-x=a，x-95=b，
则ab=5，
而a+b=5，
∴（100-x）2+（x-95）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×5=15；
故答案为：15；
【分析】（1）根据题目所给示例，设100-x=a，x-95=b，利用换元法进行替换后，算出等式结果；
（2）利用换元法，设2023-x=a，x-2000=b，则 ，在表示出，在根据完全平方公式及展开式，代入最终求出等式的值；
（3）先求出长方形CBQF的边长，设12+x=a，24-x=b，利用换元法表示出，在利用换元法表示出，在根据完全平方公式及展开式，最终求出。
23．（2023八上·二道月考）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位那么形如为实数的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：，为实数，求的值；
（4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数因式分解成两个复数的积．
【答案】（1）解：i；2
（2）解：；
．
（3）解：根据题意，得，解得．
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据题目的定义可知，i5=i4i=（i2）2i=i；
2i4=2（i2）2=2×1=2；
（2）①（2+i）（2-i）=22-i2=4+1=5；
②（2+i）2=22+i2+4i=3+4i；
（3）因为两个复数相等，所以它们的实部和虚部相等，
所以，解二元一次方程组得，
所以x+y2=5+（-3）2=14；
（4）m2+25=25-（-m2）=25-（mi）2=（5+mi）（5-mi）
【分析】（1）根据复数的定义，由i2=-1，幂的乘方的运算得到答案即可；
（2）①根据平方差公式计算答案即可；
②根据完全平方公式计算答案即可；
（3）根据复数相等的条件，将实部和虚部相等为条件列出二元一次方程组，求出x和y的值，得到答案即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解得到答案即可。
1 / 1乘法公式—人教版数学八年级上册知识点训练
一、夯实基础
1．（2024八上·农安期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·衡南月考）下列能用平方差公式直接计算的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·湖南月考）已知，则的值是（ ）
A．4 B．9 C．7 D．6
5．（2024八上·南海月考）如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
6．（2024八上·保定期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·哈尔滨月考）若，则．
8．（2024八上·新邵期中）已知，则代数式值 ．
9．（2024八上·长春月考）如图所示，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2024八上·洪山期末）已知是完全平方式，则常数 ．
11．（2024八上·农安期中）已知，求下列各式的值：
①
②
12．（2024八上·长春汽车经济技术开发月考）某同学化简出现了错误，解答过程如下：
解：原式第一步
第二步
第三步
（1）该同学的解答过程是从第______步开始出现错误的；
（2）写出此题的正确解答过程
二、能力提升
13．（2024八上·湖南期末） 若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024八上·璧山期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024八上·农安期中）（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：__________．方法2：__________
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①，求和的值；
②已知，求的值．
18．（2024八上·朝阳月考）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：______；图2：______；图3：______．
其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值．
解：∵，∴，
又∵，∴，
∴.即．
类比迁移：
（2）若，则______；
（3）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______．
19．（2024八上·长春汽车经济技术开发月考）阅读理解：
例：若，求和的值．
解：
即
，
，
我们把以上方法称为“拆项法”
请用拆项法解决问题：
（1），求的值；
（2）已知a，b，c是的三边长，满足，c是中的最短边长，且c为整数，那么c的值可能是______（有几个写几个）
20．（2024八上·衡阳月考）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若，，求的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若满足，求的值”．
解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
①若满足，则___________．
②若满足，求的值；
③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
三、拓展创新
21．（2024八上·昆明开学考）阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到．请解答下列问题：
（1）小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C；
（2）写出图中所表示的数学等式 ；
（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．
22．（2024八上·绥阳期末）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若满足，则 ；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
23．（2023八上·二道月考）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位那么形如为实数的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
（1）填空： ， ；
（2）计算：；；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：，为实数，求的值；
（4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数因式分解成两个复数的积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
2．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，
∴根据图形的变化过程，得到的等式是．
故答案为：B
【分析】根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解．
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
7．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
8．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
9．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
10．【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，，
∴，
∴或，
故答案为：或.
【分析】利用完全平方公式求解即可.
11．【答案】①13；②7
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
12．【答案】（1）一
（2）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式可得，再将代入计算求出的值即可.
14．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
15．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
16．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1可表示为，图2可表示为，所以 可以验证成立的等式为.
故答案为：D.
【分析】根据图1，图2，分别得出可表示的式子，再作判断.
17．【答案】（1）；；（2）①，；②
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
18．【答案】（1），，；
（2）；
（3）12．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
19．【答案】（1）
（2）可取2，3，4
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
20．【答案】（1）40
（2）①；②60；③106
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
21．【答案】（1）12；35；41
（2）
（3）解：，
．
，，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：，
拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片．
故答案为：12；35；41；
（2）解：图2中的图片是边长为的正方形，
图2中的面积为：．
又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成，
图2中的面积为：．
图2中所表示的数学等式为：．
故答案为：；
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的方法去括号，利用计算结果即可求出答案.
（2）利用图形通过不同的方法计算图形的面积，即可求出答案.
（3）利用（2）中的等式适当变形计算即可求出答案.
（1）解：，
拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片．
故答案为：12；35；41；
（2）解：图2中的图片是边长为的正方形，
图2中的面积为：．
又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成，
图2中的面积为：．
图2中所表示的数学等式为：．
故答案为：；
（3）解：，
．
，，
．
22．【答案】（1）15
（2）解：设，，
则，，
∴
，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴阴影部分的面积，
，
∴阴影部分的面积和为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：（1） 根据阅读材料的方法，设100-x=a，x-95=b，
则ab=5，
而a+b=5，
∴（100-x）2+（x-95）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×5=15；
故答案为：15；
【分析】（1）根据题目所给示例，设100-x=a，x-95=b，利用换元法进行替换后，算出等式结果；
（2）利用换元法，设2023-x=a，x-2000=b，则 ，在表示出，在根据完全平方公式及展开式，代入最终求出等式的值；
（3）先求出长方形CBQF的边长，设12+x=a，24-x=b，利用换元法表示出，在利用换元法表示出，在根据完全平方公式及展开式，最终求出。
23．【答案】（1）解：i；2
（2）解：；
．
（3）解：根据题意，得，解得．
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据题目的定义可知，i5=i4i=（i2）2i=i；
2i4=2（i2）2=2×1=2；
（2）①（2+i）（2-i）=22-i2=4+1=5；
②（2+i）2=22+i2+4i=3+4i；
（3）因为两个复数相等，所以它们的实部和虚部相等，
所以，解二元一次方程组得，
所以x+y2=5+（-3）2=14；
（4）m2+25=25-（-m2）=25-（mi）2=（5+mi）（5-mi）
【分析】（1）根据复数的定义，由i2=-1，幂的乘方的运算得到答案即可；
（2）①根据平方差公式计算答案即可；
②根据完全平方公式计算答案即可；
（3）根据复数相等的条件，将实部和虚部相等为条件列出二元一次方程组，求出x和y的值，得到答案即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解得到答案即可。
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