因式分解—人教版数学八年级上册知识点训练
一、夯实基础
1．（2024八上·重庆市月考）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·湖南月考）若是完全平方式，则k等于（ ）
A．16 B． C． D．
3．（2024八上·澄城期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·乳山期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
5．（2024八上·长春月考）因式分解： ．
6．（2024八上·长春月考）分解因式： ．
7．（2024八上·浙江期中）分解因式：．
8．（2024八上·长春月考）如果是完全平方式，那么a的值是 ．
9．（2024八上·德惠期中）分解因式：（1）
（2）
10．（2024八上·长春月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答下列问题：
（1）该同学第一步到第二步运用了______；
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）判断该同学因式分解的结果是否正确？______．
若正确，请回答第二步到第三步运用的公式是______．
若不正确，请你写出多项式因式分解的完整过程．
二、能力提升
11．（2024八上·重庆市月考）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ）
A．21 B．19 C．21或 D．或19
12．（2024八上·衡阳月考）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八上·保定期末）下列因式分解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024八上·上海市月考）二次三项式在实数范围内能分解因式，那么的取值范围是．
15．（2024八上·杨浦月考）若二次三项式是一个完全平方式，则满足的条件是 ．
16．（2024八上·岳阳开学考）分解因式： ．
17．（2020八上·麻城月考）若a2+b2+4a-6b+13=0，则ab的值为 .
18．（2024八上·船山月考）把下列多项式因式分解：
（1）
（2）
19．（2024八上·从江月考） 下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
分解因式：(3x+y)2-(x+3y)2.
解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)……第一步
=(4x+4y)(2x-2y)……第二步
=8(x+y)(x-y)……第三步
=8(x2-y2).……第四步
（1）任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
（2）任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 .
20．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
三、拓展创新
21．（2024八上·松北期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题： 已知二次三项式x2 - 4x ＋ m 有一个因式是 ( x ＋ 3) ，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为 ( x ＋ n) ，得x2 - 4x ＋ m = ( x ＋ 3) ( x ＋ n)
则x2 - 4 x ＋ m = x2 ＋ (n ＋ 3) x ＋ 3n
∴
解得： n = -7， m = -21
∴ 另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21 .
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
22．（2024八上·临洮月考） 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ▲ ．
.提取公因式；
.平方差公式；
.两数和的完全平方公式；
.两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ▲ ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ▲ ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
23．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
2．【答案】A
【知识点】完全平方式
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念
5．【答案】
【知识点】公因式的概念
6．【答案】
【知识点】公因式的概念
7．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
8．【答案】
【知识点】完全平方式
9．【答案】（1）（3x+1）（3x-1）；（2）-y（2x-y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
10．【答案】（1）A
（2）不正确，
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
11．【答案】C
【知识点】完全平方式
12．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
13．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．【答案】且
【知识点】因式分解的应用；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
15．【答案】且
【知识点】二次根式的乘除法；完全平方式
16．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】提取公因式4a，即可得到答案.
17．【答案】-8
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：a2+b2+4a-6b+13=（a +4a+4）+（b -6b+9）=（a+2） +（b-3）2=0，
∵ ，
∴a+2=0，b-3=0，
∴a=-2，b=3，
∴ab= =-8，
故答案为：-8.
【分析】利用配方法将已知等式转化为（a+2） +（b-3）2=0，利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出a，b的值，然后代入代数式求值.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
19．【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）四；进行乘法运算；8(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得第一步依据的公式用字母a，b表示a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b) .
【分析】（1）根据 (3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)，利用平方差公式即可求解；
（2）仔细阅读因式分解的步骤即可求解.
20．【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
21．【答案】（1）x+4，k=20；（2）3x+1，a=2．
【知识点】因式分解的概念；因式分解的应用
22．【答案】（1）C
（2）不彻底；（x﹣2）4
（3）解：设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据第二步到第三步的特点可知是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故答案为：C.
【分析】（1）根据第二步到第三步的特点即可求解；
（2）分析可得括号内还可以利用完全平方公式进行因式分解，故不够彻底，再进行一次分解即可求解；
（3）设x2﹣2x＝y，可得（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝y（y+2）+1，去括号后利用完全平方公式可进行因式分解，最后回代y的值即可求解.
23．【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
1 / 1因式分解—人教版数学八年级上册知识点训练
一、夯实基础
1．（2024八上·重庆市月考）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
2．（2024八上·湖南月考）若是完全平方式，则k等于（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
3．（2024八上·澄城期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
4．（2024八上·乳山期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
5．（2024八上·长春月考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】公因式的概念
6．（2024八上·长春月考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】公因式的概念
7．（2024八上·浙江期中）分解因式：．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
8．（2024八上·长春月考）如果是完全平方式，那么a的值是 ．
【答案】
【知识点】完全平方式
9．（2024八上·德惠期中）分解因式：（1）
（2）
【答案】（1）（3x+1）（3x-1）；（2）-y（2x-y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
10．（2024八上·长春月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答下列问题：
（1）该同学第一步到第二步运用了______；
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）判断该同学因式分解的结果是否正确？______．
若正确，请回答第二步到第三步运用的公式是______．
若不正确，请你写出多项式因式分解的完整过程．
【答案】（1）A
（2）不正确，
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
二、能力提升
11．（2024八上·重庆市月考）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ）
A．21 B．19 C．21或 D．或19
【答案】C
【知识点】完全平方式
12．（2024八上·衡阳月考）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
13．（2024八上·保定期末）下列因式分解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．（2024八上·上海市月考）二次三项式在实数范围内能分解因式，那么的取值范围是．
【答案】且
【知识点】因式分解的应用；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
15．（2024八上·杨浦月考）若二次三项式是一个完全平方式，则满足的条件是 ．
【答案】且
【知识点】二次根式的乘除法；完全平方式
16．（2024八上·岳阳开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】提取公因式4a，即可得到答案.
17．（2020八上·麻城月考）若a2+b2+4a-6b+13=0，则ab的值为 .
【答案】-8
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：a2+b2+4a-6b+13=（a +4a+4）+（b -6b+9）=（a+2） +（b-3）2=0，
∵ ，
∴a+2=0，b-3=0，
∴a=-2，b=3，
∴ab= =-8，
故答案为：-8.
【分析】利用配方法将已知等式转化为（a+2） +（b-3）2=0，利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出a，b的值，然后代入代数式求值.
18．（2024八上·船山月考）把下列多项式因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
19．（2024八上·从江月考） 下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
分解因式：(3x+y)2-(x+3y)2.
解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)……第一步
=(4x+4y)(2x-2y)……第二步
=8(x+y)(x-y)……第三步
=8(x2-y2).……第四步
（1）任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
（2）任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 .
【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）四；进行乘法运算；8(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得第一步依据的公式用字母a，b表示a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b) .
【分析】（1）根据 (3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)，利用平方差公式即可求解；
（2）仔细阅读因式分解的步骤即可求解.
20．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
三、拓展创新
21．（2024八上·松北期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题： 已知二次三项式x2 - 4x ＋ m 有一个因式是 ( x ＋ 3) ，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为 ( x ＋ n) ，得x2 - 4x ＋ m = ( x ＋ 3) ( x ＋ n)
则x2 - 4 x ＋ m = x2 ＋ (n ＋ 3) x ＋ 3n
∴
解得： n = -7， m = -21
∴ 另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21 .
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
【答案】（1）x+4，k=20；（2）3x+1，a=2．
【知识点】因式分解的概念；因式分解的应用
22．（2024八上·临洮月考） 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ▲ ．
.提取公因式；
.平方差公式；
.两数和的完全平方公式；
.两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ▲ ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ▲ ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x﹣2）4
（3）解：设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据第二步到第三步的特点可知是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故答案为：C.
【分析】（1）根据第二步到第三步的特点即可求解；
（2）分析可得括号内还可以利用完全平方公式进行因式分解，故不够彻底，再进行一次分解即可求解；
（3）设x2﹣2x＝y，可得（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝y（y+2）+1，去括号后利用完全平方公式可进行因式分解，最后回代y的值即可求解.
23．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
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