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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册、第15章
课标要求 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。5.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。6.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。7.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。8.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。9.能用尺规作图：作一个角的平分线。10.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
内容分析 本章主要内容共有四个部分，它们是图形的轴对称、线段的垂直平分线、等腰三角形和角的平分线。本章第一部分是轴对称图形。立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，给出了轴对称图形和轴对称的概念，并结合对成轴对称的两个图形上对称点关系的研究，给出了线段的垂直平分线的概念，归纳出轴对称的性质。随后通过观察和思考，讨论了坐标平面内关于x轴和y轴对称的点的坐标的关系。本章第二部分是线段的垂直平分线。通过探索一条已知线段的垂直平分线的作法，介绍了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理及其逆定理证明了三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。本章第三部分是等腰三角形。首先利用叠合操作的方法研究了等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1及其证明，进而给出了等腰三角形的其他性质，证明了判定两个直角三角形全等的“HL” 定理，研究了等腰三角形的判定定理及其推论，得到了“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”这一性质。本章第四部分是角的平分线。通过探索一个已知角的平分线的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理及其逆定理证明了三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
学情分析 从学生的认知规律看:学生通过生活中大量的实例，对轴对称图形及等腰三角形已经有直观的认知，了解轴对称图形的特征，能辨别常见的轴对称图形，轴对称等概念，了解等腰三角形两底角相等,两腰相等,理解等边三角形相关性质，了解角平分线概念。这些知识都为本章的学习做了铺垫,但前两个学段根据学生的认知特点，侧重直观认识，知识点比较分散，没有深入与系统地学习，也没有规范地表达与推理与论证.从学生的学习习惯、思维规律看:与其他内容相比，图形与变化更容易激起学生的兴趣，八年级学生经历过全等三角形学习，已经具备一定的图形意识，符号意识，逻辑推理能力，但要求他们把思维的形成过程用图形语言、文字语言和符号语言严谨完整的表述出来尚欠缺。所以本章的教学中不仅重视对思维的引导，还要重视对引导后结果的表述.
单元目标 （一）教学目标1.通过具体实例了解轴对称概念,能够识别简单的轴对称图形,理解轴对称的基本性质, 知道对应点所连线段被对称轴垂直平分.2.能够作出简单平面图形经过一次轴对称后的图形.了解基本图形(线段、角、等腰三角形等)的轴对称性.认识轴对称在现实生活中的应用 , 能够利用轴对称进行简单的图案设计.3.了解线段的垂直平分线的概念, 理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角形(等边三角形)的性质定理和逆定理, 能够利用它们进行与之相关的证明和计算,发展学生推理证明的能力.4.能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线,并能证明其正确性.5.了解三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等;三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等等性质。掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理, 以及“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半"6.能够应用所学知识解释生活中的对称现象, 解决简单的实际问题, 在观察、操作、论证的过程中,发展空间观念, 激发学习图形的兴趣.(二)教学重点、难点教学重点:轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定.教学难点:轴对称和轴对称图形的区别和联系;线段的垂直平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明;线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定的综合运用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1轴对称图形3课时15.2线段的垂直平分线1课时15.3等腰三角形3课时15.4角的平分线2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1.1轴对称图形1.通过观察操作，初步认识轴对称图形及其特点，理解轴对称图形和对称轴的概念.2.能准确判断轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴,能用自己的方法创造出轴对称图形.3.经历观察操作讨论探究，培养学生探索与实践的能力，发展学生的空间观念.1.认识轴对称图形，理解轴对称图形和对称轴的概念.2.能准确判断轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴任务一：通过生活中的对称例子，引出新课任务二：轴对称图形15.1.2轴对称图形1.了解轴对称的概念，理解轴对称的基本性质;2.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别;3.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.1.理解轴对称的概念及轴对称的基本性质2.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别3.能作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形任务一：复习旧知，引出新课任务二：轴对称以及它和轴对称图形的联系和区别任务三：轴对称的基本性质15.1.3轴对称图形1.掌握在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标变化规律.2.能运用该规律解决画对称图形等简单的问题.1.掌握在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标变化规律2.能运用该规律解决画对称图形等简单的问题.任务一：以首都北京城的布局特点为背景，引出新课任务二：坐标系中的轴对称15.2线段的垂直平分线1.能够通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性；2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.1.能够用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性2.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理任务一：通过实际问题，引出新课任务二：线段垂直平分线 任务三：线段垂直平分线的性质定理及逆定理 15.3.1等腰三角形1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论.2.知道等腰三角形“三线合一”的特性.3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论2.知道等腰三角形“三线合一”的特性.3.能运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.任务一：通过复习三角形的相关知识，引出新课任务二：等腰三角形的性质及推论15.3.2等腰三角形1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题.2.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程，掌握用等腰三角形的性质进行论证的方法.1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题2.掌握用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程任务一：回忆等腰三角形的有关性质，引出新课任务二：用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.任务三：用等腰三角形的性质证明“HL”定理.15.3.3等腰三角形1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论;2.探索含30°角的直角三角形的性质;3.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用.1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论2.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用任务一：复习等腰三角形的性质定理，为判定定理作铺垫任务二：等腰三角形的判定定理及推论任务三：含30°角的直角三角形的性质定理及应用15.4.1角的平分线1.能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性;2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.1.能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法任务一：设置问题，引出新课。任务二：角平分线的作法。任务三：过一点作已知直线的垂线15.4.2角的平分线1.掌握角平分线定理及其判定.2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题.3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.1.掌握角平分线定理及其判定2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等任务一：通过设置实际问题，引出新课任务二：角平分线的性质定理任务三：角平分线的判定定理任务四：三角形内角平分线交点的性质
《第15章 》 轴对称图形与等腰三角形 单元教学设计
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分课时教学设计
《15.3.3等腰三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是学生在已有的全等的证明、命题、轴对称以及等腰三角形的性质基础上的进一步探究，等腰三角形的判定揭示了同一个三角形的边、角关系，与等腰三角形的性质定理互为逆定理，它为我们提供了证明两条线段相等的新方法，为以后的学习提供了新的证明和计算依据，是解题论证的必备知识，因此，本节内容至关重要。
学习者分析 学生在学习了全等的证明，轴对称及等腰三角形的性质的基础上，对等腰三角形已有了一定的了解和认识，会利用全等来证明边、角相等，为验证判定定理奠定了基础。八年级学生观察、操作、猜想能力较强，但推理、归纳、运用数学的意识和思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、严密性、灵活性比较缺乏，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步的加强和引导。
教学目标 1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论； 2.探索并掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用，提高运算能力； 3.引导学生形成比较、猜想、推理等思维能力，体会数学推理的乐趣，增强合作交流意识； 4.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，掌握证明的格式。
教学重点 等边三角形的判定.
教学难点 含30°角的直角三角形的性质的应用，
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：等腰三角形的性质. 性质1 等腰三角形的两个底角相等(“等边对顶角”) 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)学生活动1： 学生回忆复习，并积极回答.活动意图说明： 通过复习等腰三角形的性质定理，为判定定理作铺垫.环节二：等腰三角形的判定定理及推论教师活动2： 思考：“等腰三角形两个底角相等”的逆命题是真命题吗？ 请与你的同学研究讨论后作出判断. 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝ ∠C． 求证：AB ＝ AC 证明：过点 A 作 AD ⊥ BC，D 为垂足， ∴ ∠ADB ＝ ∠ADC ＝ 90°．（垂直定义） 在 △ADB 和 △ADC 中， ∵ ∴ △ADB≌△ADC．（AAS） ∴ AB ＝ AC．（全等三角形的对应边相等） 等腰三角形的判定定理： 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形． 简称“等角对等边”． 应用格式： 在△ABC中， ∵∠B=∠C，（已知） ∴ AC=AB. （等角对等边） 即△ABC为等腰三角形. 它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据． 判定三角形是等腰三角形的两种方法： 一是利用定义直接证明两条边相等； 二是利用判定定理证明． 等腰三角形判定定理的推论： 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形． 应用格式： 如图 ，在△ ABC 中， ∵∠ A= ∠ B= ∠ C， ∴△ ABC 是等边三角形 . 推论 2 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 应用格式： 如图，在△ ABC 中， ∵ AB=AC， ∠ A=60 °(或 ∠ B=60 °或∠ C=60°)， ∴△ABC 是等边三角形 . 判定一个三角形是等边三角形的思路： 1. 若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定 . 2.若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定 . 3. 若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”来判定 .学生活动2： 学生思考，说出等腰三角形两个底角相等的逆命题，猜测是真命题，并进行证明. 学生通过上面的证明，总结出等腰三角形的判定定理。 由等腰三角形的判定定理，得出推论1和2. 学生与教师一起总结等边三角形的判定方法。活动意图说明： 通过思考，引导学生自主证明等腰三角形的判定定理，进而得出等边三角形的判定方法，培养学生的观察、分析能力,发展学生的形象思维能力.环节三：含30°角的直角三角形的性质定理及应用教师活动3： 如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，延长BC 到点 D，使 CD ＝ BC． 连接 AD，则 △ACD≌ △ACB． ∴ AD ＝ AB，∠BAC ＝ ∠DAC ＝ 30°，∠BAD ＝60°． 由推论 2，得 △ABD 是等边三角形， ∴ BD ＝ AB． BC＝BD＝AB． 含30°角的直角三角形的性质定理： 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30°， ∴ BC =AB． 应用此性质，必须满足两个条件： 1. 在直角三角形中； 2.有一个锐角为 30° . 二者缺一不可 . 含 30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据 . 例4 如图，一艘船从A处出发，以每时10nmile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上． 如果这艘船上午 8：00 从 A 处出发， 10：00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60°的方向上． （1）画出礁石 C 的位置； （2）求从 B 处到礁石 C 的距离． 解：（1）以 B 为顶点，向北偏西 60°作角，这角一边与AC 交于点 C，则点 C 为礁石所在地． （2）∵ ∠ACB ＝ 60° － 30° ＝ 30°， （三角形的外角性质） 又 ∵ ∠BAC＝30°， ∴ ∠BCA＝∠BAC． ∴ BC＝BA． ∵ BA＝10×（10－8）＝20（nmile）， ∴ BC＝20（nmile）． 即从 B 处到礁石 C 的距离是 20nmile．学生活动3： 学生听讲，并进行思考理解。 学生与教师一起总结含30°角的直角三角形的性质定理。 学生应用定理完成例题，加深对定理的理解。 活动意图说明： 通过推论，得出含30°角的直角三角形的性质定理，培养学生从多角度思考问题的习惯，例题的展示，培养学生分析问题，解决问题的能力，发展学生独立思考，勇于探索的创新精神。
板书设计 课题：15.3.3等腰三角形 1.等腰三角形的判定定理： 2.等腰三角形判定定理的推论： 3.含30°角的直角三角形的性质定理：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( C ) A.∠A＝40°，∠B＝50° B.∠A＝40°，∠B＝60° C.∠A＝20°，∠B＝80° D.∠A＝40°，∠B＝80° 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( D ) A.3 B.3.5 C.4.8 D.5.2 3.如图，∠AOE=∠BOE=15° ,EF//OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF= 2 . . 4.如图，AC＝DB，∠1＝∠2，AC与DB相交于点O.求证:∠3＝∠4. 证明:∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO. ∵AC＝DB， ∴AO＝DO， ∴∠3＝∠4. 选做题： 5.如图，已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内有一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个是边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画( B ) A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 【综合拓展类作业】 7.如图，在△ABC中，已知点 D 在线段AB的反向延长线上，过AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC的平分线于E ，交BC于G ，且AE∥BC . 求证：△ABC 是等腰三角形； （2）若 AE ＝8， AB ＝10， GC ＝2 BG ，求△ ABC 的周长. (1)证明：∵ AE ∥ BC ， ∴∠ B ＝∠ DAE ，∠ C ＝∠ CAE . ∵ AE 平分∠ DAC ，∴∠ DAE ＝∠ CAE ， ∴∠ B ＝∠ C ，∴ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形. (2)解：∵ F 是 AC 的中点，∴ AF ＝ CF . ∵ AE ∥ BC ，∴∠ C ＝∠ CAE . 由对顶角相等，可知∠ AFE ＝∠ GFC . 在△ AFE 和△ CFG 中， ∴△ AFE ≌△ CFG ，（ ASA ） ∴ GC ＝ AE ＝8. ∵ GC ＝2 BG ，∴ BG ＝4， ∴ BC ＝ BG ＋ GC ＝12. ∴△ ABC 的周长为 AB ＋ AC ＋ BC ＝10＋10＋12＝32.
课堂总结 1.等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”． 2.推论： 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论 2 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 3.含30°角的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( A ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ C ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积. 解:如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB＝90°. ∵∠B＝30°， ∴AD＝ AB＝ ×4＝2. ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×2＝6， 即△ABC的面积为6. 选做题： 4.如图，一艘轮船由 A 地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西20°的方向行驶80海里到达 C 地，则 A ， C 两地相距（ B ） A.100海里 B.80海里 C.60海里 D.40海里 5．如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,点D在线段BC.上运动(点D不与B,C两点重合),连接AD,作∠ADE= =40°,DE与AC交于点E.在点D的运动过程中,∠BDA的度数为 110°或80° 时，△ADE的形状是等腰三角形. 【综合拓展类作业】 6.如图，在锐角△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角平分线交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF. 证明:∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBG. 又∵DE∥BC， ∴∠DBG＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB，即EB＝ED. 同理CF＝DF. 又∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.
教学反思 本节设计了“新课导入——新课讲解——课堂练习——课堂小结——作业布置”等环节，使学生领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力，经历探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理、清晰地表达的能力，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值。
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（沪科版）八年级
上
15.3.3等腰三角形
轴对称图形与等腰三角形
第15章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论；
2.探索并掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用，提高运算能力；
3.引导学生形成比较、猜想、推理等思维能力，体会数学推理的乐趣，增强合作交流意识；
4.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，掌握证明的格式。
新知导入
回顾：等腰三角形的性质.
性质1 等腰三角形的两个底角相等(“等边对顶角”)
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)
思考：“等腰三角形两个底角相等”的逆命题是真命题吗？
请与你的同学研究讨论后作出判断.
任务一：等腰三角形的判定定理及推论
新知讲解
新知讲解
证明：过点 A 作 AD ⊥ BC，D 为垂足，
∴ ∠ADB ＝ ∠ADC ＝ 90°．（垂直定义）
在 △ADB 和 △ADC 中，∵
∴ △ADB≌△ADC．（AAS）
∴ AB ＝ AC．（全等三角形的对应边相等）
已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝ ∠C．
求证：AB ＝ AC
A
B
C
D
新知讲解
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形．
简称“等角对等边”．
等腰三角形的判定定理：
∴ AC=AB. （等角对等边）
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C，（已知）
应用格式：
B
C
A
(
(
在△ABC中，
它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据．
新知讲解
判定三角形是等腰三角形的两种方法：
一是利用定义直接证明两条边相等；
二是利用判定定理证明．
新知讲解
新知讲解
推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形．
等腰三角形判定定理的推论：
应用格式：
如图 ，在△ ABC 中，
∵∠ A= ∠ B= ∠ C，
∴△ ABC 是等边三角形 .
新知讲解
推论 ２ 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
等腰三角形判定定理的推论：
应用格式：
如图，在△ ABC 中，
∵ AB=AC， ∠ A=60 °(或 ∠ B=60 °或∠ C=60°)，
∴△ABC 是等边三角形 .
判定一个三角形是等边三角形的思路：
1. 若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定 .
2.若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定 .
3. 若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”来判定 .
新知讲解
如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，延长BC 到点 D，使 CD ＝ BC． 连接 AD，则 △ACD≌ △ACB．
∴ AD ＝ AB，∠BAC ＝ ∠DAC ＝ 30°，∠BAD ＝ 60°．
由推论 ２，得 △ABD 是等边三角形，
∴ BD ＝ AB．
BC＝ BD＝AB．
新知讲解
任务二：含30°角的直角三角形的性质定理及应用
新知讲解
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质定理：
A
B
C
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC =AB．
应用此性质，必须满足两个条件：
1. 在直角三角形中；
2.有一个锐角为 30° . 二者缺一不可 .
含 30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分
关系的重要依据 .
新知讲解
例4 如图，一艘船从A处出发，以每时10ｎmile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上． 如果这艘船上午 ８：00 从 A 处出发， 10：00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60°的方向上．
（1）画出礁石 C 的位置；
（２）求从 B 处到礁石 C 的距离．
新知讲解
解：（1）以 B 为顶点，向北偏西 60°作角，这角一边与AC 交于点 C，则点 C 为礁石所在地．
新知讲解
（２）∵ ∠ACB ＝ 60° － 30° ＝ 30°，
（三角形的外角性质）
又 ∵ ∠BAC＝30°，
∴ ∠BCA＝∠BAC．
∴ BC＝BA．
∵ BA＝10×（10－８）＝２0（nmile），
∴ BC＝２0（nmile）．
即从 B 处到礁石 C 的距离是 ２0nmile．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A＝40°，∠B＝50°
B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80°
D.∠A＝40°，∠B＝80°
C
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3 B.3.5
C.4.8 D.5.2
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，∠AOE=∠BOE=15° ,EF//OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=
.
2
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，AC＝DB，∠1＝∠2，AC与DB相交于点O.求证:∠3＝∠4.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
证明:∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO.
∵AC＝DB，
∴AO＝DO，
∴∠3＝∠4.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图，已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内有一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个是边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.5条 B.4条
C.3条 D.2条
B
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.如图，在△ABC中，已知点 D 在线段AB的反向延长线上，过AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC的平分线于E ，交BC于G ，且AE∥BC .
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
证明：∵ AE ∥ BC ，
∴∠ B ＝∠ DAE ，∠ C ＝∠ CAE .
∵ AE 平分∠ DAC ，∴∠ DAE ＝∠ CAE ，
∴∠ B ＝∠ C ，∴ AB ＝ AC ，
∴△ ABC 是等腰三角形.
【综合拓展类作业】
课堂练习
（2）若 AE ＝8， AB ＝10， GC ＝2 BG ，求△ ABC 的周长.
解：∵ F 是 AC 的中点，∴ AF ＝ CF .
∵ AE ∥ BC ，∴∠ C ＝∠ CAE .
由对顶角相等，可知∠ AFE ＝∠ GFC .
在△ AFE 和△ CFG 中，
∴△ AFE ≌△ CFG ，（ ASA ）
【综合拓展类作业】
课堂练习
（2）若 AE ＝8， AB ＝10， GC ＝2 BG ，求△ ABC 的周长.
∴ GC ＝ AE ＝8.
∵ GC ＝2 BG ，∴ BG ＝4，
∴ BC ＝ BG ＋ GC ＝12.
∴△ ABC 的周长为 AB ＋ AC ＋ BC ＝10＋10＋12＝32.
课堂总结
1.等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”．
2.推论：
推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论 ２ 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
3.含30°角的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
板书设计
1.等腰三角形的判定定理：
2.等腰三角形判定定理的推论：
3.含30°角的直角三角形的性质定理：
课题：15.3.3等腰三角形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C
3.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AD＝ AB＝×4＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6，
即△ABC的面积为6.
4.如图，一艘轮船由 A 地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西20°的方向行驶80海里到达 C 地，则 A ， C 两地相距（ ）
A.100海里 B.80海里
C.60海里 D.40海里
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,点D在线段BC.上运动(点D不与B,C两点重合),连接AD,作∠ADE= =40°,DE与AC交于点E.在点D的运动过程中,∠BDA的度数为 时，△ADE的形状是等腰三角形.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
110°或80°
6.如图，在锐角△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角平分线交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF.
【综合拓展类作业】
作业布置
证明:∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBG.
又∵DE∥BC，
∴∠DBG＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，即EB＝ED.
同理CF＝DF.
又∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.
Thanks!
2
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