高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A．32 B．48 C．62 D．93
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知数列为等比数列，且公比为2，首项为3，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而推出数列为等比数列，且公比为2，首项为3，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前5项的和。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
3．（2016高一下·霍邱期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选：C
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 （尺），则 与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以 。
故答案为：C
【分析】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出 与n的关系 。
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ,
则 ,又因为它的首项为1，所以等比数列的通项公式为 ，
中间两项的和为 ，解得 ，所以项数为8，
故答案为：B.
【分析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ,再利用等比数列的性质，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列的通项公式，再利用 中间两项的和为24结合等比数列的通项公式，进而求出n的值，从而求出此等比数列的项数。
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和 （ ）
A．160 B．241 C．243 D．484
【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解： ， ，两式相除得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】因为 ，所以 ，两式相除得 ，因为 ，所以 ，由 ，得 ， ， ，进而结合数列的前n项和定义，进而求出数列 的前 项和。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列 和 ，
数列 是一个首项为1，公比2的等比数列，
数列 是一个首项为1，公比为 的等比数列，
故可得第 天总共穿的长度： ，
整理得： ，
当 时，长度小于10，
当 时，长度大于10，
故两个老鼠在第4天相逢。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列 和 ，数列 是一个首项为1，公比2的等比数列，数列 是一个首项为1，公比为 的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式结合求和法得出第 天总共穿的长度，当 时，长度小于10，当 时，长度大于10，故两个老鼠在第4天相逢。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，
所以数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，
所以 。
故答案为：D
【分析】利用结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出 。
9．（2018高二上·辽宁期中）设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的公比为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得等比数列的公比q≠1，所以
所以 ，
因为数列各项是正数，所以q=2.
故答案为：B
【分析】 首先利用等比数列前n项和公式代入数值求解出q的值，再结合数列各项是正数，从而得出q=2即可。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前10项和为 （ ）
A． B． C．50 D．55
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
所以 ，
则等差数列 的前 项和 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，进而解方程组求出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用对数的运算法则结合已知条件，进而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前10项和。
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵等比数列 中， 为其前n项和， ，
∴ ，
，
，
∵ 是等比数列，
∴ ，∴ ，
解得 。
故答案为-3。
【分析】利用已知条件结合与的关系式求出等比数列前3项的值，再利用等比中项公式，进而求出a的值。
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）各项均为正数的等比数列 中, ,则 .
【答案】9
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 (舍)或 ，
， ，
则 。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出满足要求的公比，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出的值。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为2， ，则 .
【答案】44
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为{an}是公比为2的等比数列，
设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ．
S99＝77＝（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）＝x ，
∴a3+a6+a9+…a99＝44，
故答案为44。
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ，再利用分组求和的方法，进而求出x的值，从而求出a3+a6+a9+…a99的值。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， ，前 项和为 ， ， ， 成等差数列，则 的最大值为 .
【答案】4
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
由已知得， ，即 ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，则 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
综上所述， 的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的前n项和公式，再结合等比数列的通项公式，进而求出首项和公比，再结合等比数列的前n项和公式结合分类讨论的方法求出 的取值范围，进而得出 的最大值。
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 中，公比 ， ，则数列 的前5项和
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵公比 ， ，
∴ ，即 ，
∴。
故答案为 。
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的首项的值，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出等比数列 的前5项和 。
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在等比数列 中， ，且 为 和 的等差中项，求数列 的首项、公比及其前 项和.
【答案】解：设等比数列 的公比为 .
由已知可得 即
所以 解②得 或 .
由于 ，
因此 不合题意，舍去.
所以公比 ，首项 .
所以数列 的前 项和
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，进而解方程组求出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列的前n项的和。
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
∵ 成等比数列，
∴
解得
∴
（2）解：由（1）得， ，
∴ ， ，
∴数列 是首项为4，公比为4的等比数列.
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的前n项和公式，再结合解方程组的方法，进而求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为 ,且 , , 成等差数列.
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 的前 项和为 ,且 ,求 的值.
【答案】解：(Ⅰ)因为 为公比为 的等比数列,
所以 , , ,
依题意得 ,
即 ,
整理得 , 解得 .
所以数列 的通项公式为 .
(Ⅱ)依题意 ,
.
所以 ,整理得 ,
解得
所以 的值是5
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，进而求出首项，再利用等比数列通项公式，进而求出数列 的通项公式 。
（2）利用等比数列前n项和公式求出数列 的前 项和，再利用已知条件 ,进而求出 的值。
19．（2020高二上·榆树期末）已知等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n 1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以 .
从而
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列，知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
∴数列 的通项公式为 ，∴ .
又 ，∴ ，
∵数列 是公比为2的等比数列，
∴ ，∴
（2）解：由题意得，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，进而结合数列 的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合分组求和的方法，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
21．（2020高二上·南阳月考）已知 .
（1）当 ， 时，求 所表示的和；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：当 ， 时， ，
两边除以 ，得 ，
所以 ，因此， ；
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，①
当 时， ；
当 时，在①的两边同乘以 ，得 ，
与①式作差，得 ，
所以 .
综上， .
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合错位相减法，从而求出 所表示的和 。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用错位相减法，从而求出数列 的前 项和 。
22．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 的首项为2， 为其前 项和，且
（1）若 ， ， 成等差数列，求数列 的通项公式；
（2）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求 .
【答案】（1）解：由已知， ，则 ，
两式相减得到 ， .
又由 得到 ，
故 对所有 都成立.
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
由 ， ， 成等差数列，
可得 ，
所以
故 .
所以
（2）解：由（1）可知， ，所以双曲线 的离心率 .
由 ，得 （舍负）.
所以
，
记 ①
②
①-②得
所以 .
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式，则 ，得出 ，
两式相减得到 ， ，又由 得到 ，故 对所有 都成立，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，再利用等差中项公式结合等比数列的性质，进而求出公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2） 由（1）可知， ，所以双曲线 的离心率 ，由 ，得出 的值 ，所以 ，记 ，再利用错位相减的方法，进而求出 ，进而求出 。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A．32 B．48 C．62 D．93
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高一下·霍邱期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 （尺），则 与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和 （ ）
A．160 B．241 C．243 D．484
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2018高二上·辽宁期中）设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的公比为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前10项和为 （ ）
A． B． C．50 D．55
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 ．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）各项均为正数的等比数列 中, ,则 .
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为2， ，则 .
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， ，前 项和为 ， ， ， 成等差数列，则 的最大值为 .
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 中，公比 ， ，则数列 的前5项和
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在等比数列 中， ，且 为 和 的等差中项，求数列 的首项、公比及其前 项和.
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为 ,且 , , 成等差数列.
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 的前 项和为 ,且 ,求 的值.
19．（2020高二上·榆树期末）已知等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
21．（2020高二上·南阳月考）已知 .
（1）当 ， 时，求 所表示的和；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
22．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 的首项为2， 为其前 项和，且
（1）若 ， ， 成等差数列，求数列 的通项公式；
（2）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知数列为等比数列，且公比为2，首项为3，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而推出数列为等比数列，且公比为2，首项为3，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前5项的和。
2．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
3．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选：C
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
4．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以 。
故答案为：C
【分析】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出 与n的关系 。
5．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ,
则 ,又因为它的首项为1，所以等比数列的通项公式为 ，
中间两项的和为 ，解得 ，所以项数为8，
故答案为：B.
【分析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ,再利用等比数列的性质，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列的通项公式，再利用 中间两项的和为24结合等比数列的通项公式，进而求出n的值，从而求出此等比数列的项数。
6．【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解： ， ，两式相除得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】因为 ，所以 ，两式相除得 ，因为 ，所以 ，由 ，得 ， ， ，进而结合数列的前n项和定义，进而求出数列 的前 项和。
7．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列 和 ，
数列 是一个首项为1，公比2的等比数列，
数列 是一个首项为1，公比为 的等比数列，
故可得第 天总共穿的长度： ，
整理得： ，
当 时，长度小于10，
当 时，长度大于10，
故两个老鼠在第4天相逢。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列 和 ，数列 是一个首项为1，公比2的等比数列，数列 是一个首项为1，公比为 的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式结合求和法得出第 天总共穿的长度，当 时，长度小于10，当 时，长度大于10，故两个老鼠在第4天相逢。
8．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，
所以数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，
所以 。
故答案为：D
【分析】利用结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出 。
9．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得等比数列的公比q≠1，所以
所以 ，
因为数列各项是正数，所以q=2.
故答案为：B
【分析】 首先利用等比数列前n项和公式代入数值求解出q的值，再结合数列各项是正数，从而得出q=2即可。
10．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
所以 ，
则等差数列 的前 项和 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，进而解方程组求出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用对数的运算法则结合已知条件，进而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前10项和。
11．【答案】-3
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵等比数列 中， 为其前n项和， ，
∴ ，
，
，
∵ 是等比数列，
∴ ，∴ ，
解得 。
故答案为-3。
【分析】利用已知条件结合与的关系式求出等比数列前3项的值，再利用等比中项公式，进而求出a的值。
12．【答案】9
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 (舍)或 ，
， ，
则 。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出满足要求的公比，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出的值。
13．【答案】44
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为{an}是公比为2的等比数列，
设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ．
S99＝77＝（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）＝x ，
∴a3+a6+a9+…a99＝44，
故答案为44。
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ，再利用分组求和的方法，进而求出x的值，从而求出a3+a6+a9+…a99的值。
14．【答案】4
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
由已知得， ，即 ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，则 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
综上所述， 的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的前n项和公式，再结合等比数列的通项公式，进而求出首项和公比，再结合等比数列的前n项和公式结合分类讨论的方法求出 的取值范围，进而得出 的最大值。
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵公比 ， ，
∴ ，即 ，
∴。
故答案为 。
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的首项的值，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出等比数列 的前5项和 。
16．【答案】解：设等比数列 的公比为 .
由已知可得 即
所以 解②得 或 .
由于 ，
因此 不合题意，舍去.
所以公比 ，首项 .
所以数列 的前 项和
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，进而解方程组求出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列的前n项的和。
17．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
∵ 成等比数列，
∴
解得
∴
（2）解：由（1）得， ，
∴ ， ，
∴数列 是首项为4，公比为4的等比数列.
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的前n项和公式，再结合解方程组的方法，进而求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
18．【答案】解：(Ⅰ)因为 为公比为 的等比数列,
所以 , , ,
依题意得 ,
即 ,
整理得 , 解得 .
所以数列 的通项公式为 .
(Ⅱ)依题意 ,
.
所以 ,整理得 ,
解得
所以 的值是5
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，进而求出首项，再利用等比数列通项公式，进而求出数列 的通项公式 。
（2）利用等比数列前n项和公式求出数列 的前 项和，再利用已知条件 ,进而求出 的值。
19．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n 1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以 .
从而
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列，知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
20．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
∴数列 的通项公式为 ，∴ .
又 ，∴ ，
∵数列 是公比为2的等比数列，
∴ ，∴
（2）解：由题意得，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，进而结合数列 的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合分组求和的方法，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
21．【答案】（1）解：当 ， 时， ，
两边除以 ，得 ，
所以 ，因此， ；
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，①
当 时， ；
当 时，在①的两边同乘以 ，得 ，
与①式作差，得 ，
所以 .
综上， .
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合错位相减法，从而求出 所表示的和 。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用错位相减法，从而求出数列 的前 项和 。
22．【答案】（1）解：由已知， ，则 ，
两式相减得到 ， .
又由 得到 ，
故 对所有 都成立.
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
由 ， ， 成等差数列，
可得 ，
所以
故 .
所以
（2）解：由（1）可知， ，所以双曲线 的离心率 .
由 ，得 （舍负）.
所以
，
记 ①
②
①-②得
所以 .
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式，则 ，得出 ，
两式相减得到 ， ，又由 得到 ，故 对所有 都成立，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，再利用等差中项公式结合等比数列的性质，进而求出公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2） 由（1）可知， ，所以双曲线 的离心率 ，由 ，得出 的值 ，所以 ，记 ，再利用错位相减的方法，进而求出 ，进而求出 。
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