高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线
1．（人教A版高中数学必修二3.3.1两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公式 同步训练（1））直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为（ ）
A．12 B．10 C．-8 D．-6
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）直线 的两点 的横坐标分别是 ，则 等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2020高二上·天津月考）直线 与直线 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）若直线 与 ，若 的交点在 轴上，则 的值为（ ）
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与 的取值有关
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 ，则 的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）到 ， 的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）不论 为何实数，直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·遂宁期末）若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点（ ）
A． B． C． D．
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）若三条直线 能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）
A． 或 B．
C． 且 D． 且
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知点 ， ,若直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围是 .
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）三条直线 ， 和 相交于一点，则m的值为 ．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ．
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知点 ，在直线 和y轴上各找一点P和Q，使 的周长最小.
15．（2018高二上·杭州期中）已知直线 与 相交于点 ，求满足下列条件的直线方程：
(Ⅰ)过点 且过原点的直线方程；
(Ⅱ)过点 且平行于直线 的直线方程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】∵直线 与 的交点为
∴将点 代入 得 ，即
将点 代入 得 ，即
∴
故答案为：B
【分析】将点（2，-1）代入两条直线方程，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意易知 ，
∴
故答案为：B.
【分析】由两点间的距离代入数值计算出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】 时，直线分别化为： ，此时两条直线不垂直.
时，由两条直线垂直可得： ，解得 .
综上可得： .
联立 ，解得 ， . ∴这两条直线的交点坐标为 .
故答案为：B
【分析】 时，直线分别化为： ，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得： ，解得 . 联立方程解出即可得出.
4．【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】两条直线的纵截距相等， ,所以 ,
故答案为：B.
【分析】根据题意由直线截距的定义代入数值计算出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,两直线垂直,可知 ，
将垂足坐标代入直线 方程，得到 ，代入直线 方程，得到 ，所以
，
故答案为：B．
【分析】根据题意由已知条件把直线化为斜截式再由两条直线垂直斜率的关系计算出a的值，再把点的坐标代入到直线的方程计算出b的值进而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】设 ，
因为点P到 ， 的距离相等，
则
即 ，
化简整理得： ．
故答案为：B
【分析】根据题意设出点的坐标再由两点间的距离公式整理即可得到点的方程。
7．【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件整理直线的方程即可得出两条直线的方程联立直线的方程求出交点的坐标由此即可得出定点的坐标。
8．【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】∵ ＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则 ，得 ，即直线l2恒过定点
故答案为：C
【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
9．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若 ，则由 ，得 .
②若 ，则由 ，得 .
③若 ，则由 ，得 .
当 时， 与 三线重合，当 时， 平行.
④若三条直线交于一点，由 解得
将 的交点 的坐标代入 的方程，
解得 （舍去）或 .
所以要使三条直线能构成三角形，需 且 .
故答案为：D.
【分析】根据题意首先排除平行与重合的情况下的a的取值，再排除相交于一点的情况求出a的值，由此得到答案。
10．【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线 可整理为：
直线 经过定点
，
又直线 的斜率为
的取值范围为：
本题正确结果：
【分析】根据题意整理直线的方程由此得到直线过的定点的坐标，再由直线斜率的公式代入数值计算出斜率结合斜率与倾斜角的关系即可得出a的取值范围。
11．【答案】
【知识点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，所以这两条直线的交点坐标为 ．
由题意知点 在直线 上，
将 代入，得 ，解得 ．
故答案为：
【分析】首先根据题意求出两条直线的交点的坐标，再把点的坐标代入到直线的方程计算出m的值即可。
12．【答案】±6
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，两直线的交点在 轴上，可设交点的坐标为 ，
分别代入直线的方程，联立方程组可得 ，整理得 ，解得 ，
故答案为±6.
【分析】根据题意首先求出交点的坐标再把点的坐标代入到直线的方程整理得到关于k的方程时间长k的值即可。
13．【答案】解：由方程组 解得点A的坐标为(－1,0)．
又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，
所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率kBC＝－2，
所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②
解①②组成的方程组得
即顶点C的坐标为(5，－6)
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【分析】首先联立直线的方程求出交点的坐标再由已知条件结合点斜式求出直线的方程，再由直线垂直斜率的关系计算出 kAC＝－1 ，由点斜式即可求出该直线的方程联立直线的方程求出交点的坐标由此得到顶点C的坐标。
14．【答案】解：由题可得，M关于l的对称点 ， M关于y轴的对称点 ，则直线 的方程为 ，即 .当 分别为直线 与 轴的交点时， 的周长最小.令 ，得到直线 与y轴的交点 .解方程组 得直线 与直线l的交点故点 .故点 ， 即为所求.
【知识点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】根据题意由点关于直线对称的性质求出M关于y轴的对称点 ，再由两点式求出直线的方程，然后由已知条件 的周长最小，由直线截距的定义求出直线与坐标轴的交点即可。
15．【答案】解：(Ⅰ)由
过点 与原点的直线方程为：
(Ⅱ)设所求直线方程为
由点 可得
所求的直线方程为
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点的坐标，再求出它的斜率，用点斜式求得过点且过原点的直线方程；
（Ⅱ）用点斜式即可求出过点且行于直线的直线方程。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线
1．（人教A版高中数学必修二3.3.1两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公式 同步训练（1））直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为（ ）
A．12 B．10 C．-8 D．-6
【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】∵直线 与 的交点为
∴将点 代入 得 ，即
将点 代入 得 ，即
∴
故答案为：B
【分析】将点（2，-1）代入两条直线方程，即可得出答案。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）直线 的两点 的横坐标分别是 ，则 等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意易知 ，
∴
故答案为：B.
【分析】由两点间的距离代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·天津月考）直线 与直线 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】 时，直线分别化为： ，此时两条直线不垂直.
时，由两条直线垂直可得： ，解得 .
综上可得： .
联立 ，解得 ， . ∴这两条直线的交点坐标为 .
故答案为：B
【分析】 时，直线分别化为： ，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得： ，解得 . 联立方程解出即可得出.
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）若直线 与 ，若 的交点在 轴上，则 的值为（ ）
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与 的取值有关
【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】两条直线的纵截距相等， ,所以 ,
故答案为：B.
【分析】根据题意由直线截距的定义代入数值计算出结果即可。
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 ，则 的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,两直线垂直,可知 ，
将垂足坐标代入直线 方程，得到 ，代入直线 方程，得到 ，所以
，
故答案为：B．
【分析】根据题意由已知条件把直线化为斜截式再由两条直线垂直斜率的关系计算出a的值，再把点的坐标代入到直线的方程计算出b的值进而得出答案。
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）到 ， 的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】设 ，
因为点P到 ， 的距离相等，
则
即 ，
化简整理得： ．
故答案为：B
【分析】根据题意设出点的坐标再由两点间的距离公式整理即可得到点的方程。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）不论 为何实数，直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件整理直线的方程即可得出两条直线的方程联立直线的方程求出交点的坐标由此即可得出定点的坐标。
8．（2020高二上·遂宁期末）若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】∵ ＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则 ，得 ，即直线l2恒过定点
故答案为：C
【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）若三条直线 能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）
A． 或 B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若 ，则由 ，得 .
②若 ，则由 ，得 .
③若 ，则由 ，得 .
当 时， 与 三线重合，当 时， 平行.
④若三条直线交于一点，由 解得
将 的交点 的坐标代入 的方程，
解得 （舍去）或 .
所以要使三条直线能构成三角形，需 且 .
故答案为：D.
【分析】根据题意首先排除平行与重合的情况下的a的取值，再排除相交于一点的情况求出a的值，由此得到答案。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知点 ， ,若直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线 可整理为：
直线 经过定点
，
又直线 的斜率为
的取值范围为：
本题正确结果：
【分析】根据题意整理直线的方程由此得到直线过的定点的坐标，再由直线斜率的公式代入数值计算出斜率结合斜率与倾斜角的关系即可得出a的取值范围。
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）三条直线 ， 和 相交于一点，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，所以这两条直线的交点坐标为 ．
由题意知点 在直线 上，
将 代入，得 ，解得 ．
故答案为：
【分析】首先根据题意求出两条直线的交点的坐标，再把点的坐标代入到直线的方程计算出m的值即可。
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ．
【答案】±6
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，两直线的交点在 轴上，可设交点的坐标为 ，
分别代入直线的方程，联立方程组可得 ，整理得 ，解得 ，
故答案为±6.
【分析】根据题意首先求出交点的坐标再把点的坐标代入到直线的方程整理得到关于k的方程时间长k的值即可。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
【答案】解：由方程组 解得点A的坐标为(－1,0)．
又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，
所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率kBC＝－2，
所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②
解①②组成的方程组得
即顶点C的坐标为(5，－6)
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【分析】首先联立直线的方程求出交点的坐标再由已知条件结合点斜式求出直线的方程，再由直线垂直斜率的关系计算出 kAC＝－1 ，由点斜式即可求出该直线的方程联立直线的方程求出交点的坐标由此得到顶点C的坐标。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线）已知点 ，在直线 和y轴上各找一点P和Q，使 的周长最小.
【答案】解：由题可得，M关于l的对称点 ， M关于y轴的对称点 ，则直线 的方程为 ，即 .当 分别为直线 与 轴的交点时， 的周长最小.令 ，得到直线 与y轴的交点 .解方程组 得直线 与直线l的交点故点 .故点 ， 即为所求.
【知识点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】根据题意由点关于直线对称的性质求出M关于y轴的对称点 ，再由两点式求出直线的方程，然后由已知条件 的周长最小，由直线截距的定义求出直线与坐标轴的交点即可。
15．（2018高二上·杭州期中）已知直线 与 相交于点 ，求满足下列条件的直线方程：
(Ⅰ)过点 且过原点的直线方程；
(Ⅱ)过点 且平行于直线 的直线方程.
【答案】解：(Ⅰ)由
过点 与原点的直线方程为：
(Ⅱ)设所求直线方程为
由点 可得
所求的直线方程为
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点的坐标，再求出它的斜率，用点斜式求得过点且过原点的直线方程；
（Ⅱ）用点斜式即可求出过点且行于直线的直线方程。
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