人教A版数学(选择性必修一讲义)第28讲3.2.1双曲线及其标准方程(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学(选择性必修一讲义)第28讲3.2.1双曲线及其标准方程(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 09:35:12 | ||
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文档简介
第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程
课程标准 学习目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.
知识点01：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【详解】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
知识点02：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【答案】或
【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，
可得，即，解得，
又由直线过双曲线的一个焦点，
当时，可得；当时，可得；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或
题型01 双曲线定义的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
题型02利用双曲线定义求方程
【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ．
【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ．
【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
题型05判断方程是否表示双曲线
【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
题型06根据方程表示双曲线求参数
【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型07求双曲线方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
题型08双曲线中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；
【典例3】（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．
【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；
题型09双曲线中的焦点三角形问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ．
【典例5】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 .
【变式1】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【变式2】（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【变式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【变式5】（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
2．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
15．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
3．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程
课程标准 学习目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.
知识点01：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【详解】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
知识点02：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【答案】或
【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，
可得，即，解得，
又由直线过双曲线的一个焦点，
当时，可得；当时，可得；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或
题型01 双曲线定义的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由双曲线标准方程得：，
由双曲线定义得:
即，
解得（舍去）或，
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【答案】D
【详解】设，，则.
则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.
故选：D.
【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【答案】B
【详解】由，可得，则.
又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.
故选：B
【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】D
【详解】设双曲线的实轴长为，则，
由双曲线的定义知，
，
故选：D
题型02利用双曲线定义求方程
【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
故选：C.
【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】圆N：的圆心，半径，
∵，
∴点在圆N外，则圆P包含圆N，
设圆P的半径为，
由题意可得：，即，可得，
故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，
可得，则，
故动圆圆心P的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，
由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，
又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6，
故，所以，
故双曲线标准方程为.
故答案为：.
【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
【答案】
【详解】
因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，
则，，所以，
所以点的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为.
题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】因为双曲线左支上的点M到右焦点的距离为18，
所以M到左焦点的距离，
N是的中点，O是的中点，所以.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【答案】C
【详解】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】在双曲线中，，，，设点，易知，
若点在双曲线的右支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意；
若点在双曲线的左支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【答案】C
【详解】解：由题知，，
因为在双曲线上，且，
所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故；
所以，
故选：C
【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【详解】
则
故双曲线的两个焦点为,
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
则的最大值为
故选：D
【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,
而，仅当共线且在之间时等号成立，
所以，当共线且在之间时等号成立.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则，
由，
因为，所以，
设，则，．
可得函数在上单调递减，所以，即，
故的最大值为．
故答案为：．
【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.
故选：B
【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】
由双曲线方程知：，，，则，，
由双曲线定义知：，
（当且仅当在线段上时取等号），
又，.
故答案为：.
题型05判断方程是否表示双曲线
【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
【答案】BC
【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.
故选：BC.
【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；
若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；
若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．
故选．
【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【答案】CD
【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；
对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.
故选：CD.
【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
【答案】ABC
【详解】对于A，当，即时，方程可化为，该方程表示圆，故A正确；
对于B，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；
对于C，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
对于D，因为由得无解，
所以当方程化为时，由于，，
所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误.
故选：ABC.
题型06根据方程表示双曲线求参数
【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若方程表示双曲线，则，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为曲线是双曲线，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：.
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】曲线表示双曲线，所以即可.
解得或，
所以实数k的取值范围是：.
故选：B.
【变式2】（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
因为由可推出或，，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
题型07求双曲线方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，设双曲线方程为，
因为，则，
显然圆O的半径为3，
又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
双曲线与圆O交于第一象限内的点为，
于是，解得，
所以双曲线的方程为.
故选：A
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为；
所以双曲线焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为，且，
点在双曲线上，即，解得；
所以双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
将两点代入可得，解得；
所以双曲线的标准方程为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为，所以，
由双曲线定义可得，又，
所以，
所以，
所以，，
双曲线的方程为
故选：D.
【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
题型08双曲线中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切，
联立，消去并整理得，
所以，即，
将代入，得，
得，因为，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以过点且与垂直的直线为，
令，得，令，得，
则，，
由，得，，
代入，得，即，
故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；
【答案】
【详解】
由题设得，
即，
整理得.
所以曲线的方程为.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．
【答案】去掉顶点的双曲线
【详解】解：设点，因为中的两个顶点是，
所以，，
因为边与边所在直线的斜率之积是，
所以，整理得
所以，顶点的轨迹方程为，
所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线.
【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【答案】；
【详解】
因为，由双曲线的定义可知，
轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，
，即，所以，
所以轨迹的方程为.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；
【答案】（）
【分析】
设，当时，直线的斜率不存在；
当时，直线的斜率不存在．
于是且.此时，的斜率为，的斜率为.
由题意，有，化简可得，
故动点的轨迹的方程为（）
题型09双曲线中的焦点三角形问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【详解】∵为正三角形，
设，则，，又双曲线，
则根据双曲线定义得，
∴，即等边三角形的边长为4，
故的面积为.
故选：A.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设的内切圆与相切于,圆心为,
由切线长的性质以及双曲线定义可得，
又，因此，所以,
设角,且为锐角，由于，
所以，
为内切圆的半径，不妨设，
故在中，，
,
当共线时，此时，
当方向相同时，，当方向相反时，，
因此,
故选：C
【典例4】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ．
【答案】/
【详解】，，则，，，
.
故答案为：.
【典例5】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 .
【答案】 2 9
【详解】由双曲线，可得，,
记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
已知直线的倾斜角为，则，
设△的内切圆半径为，△的内切圆半径为
在中，，
同理，在中，，
所以，所以.
故答案为：2;9.
【变式1】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【详解】由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
【变式2】（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
【变式3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案为：
【变式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【答案】/
【详解】
不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故.
又由双曲线定义得，
故.
故答案为：
【变式5】（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
【答案】 / （答案不唯一）
【详解】由点可知，，所以点在圆，
且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，
联立，解得：或，
则的面积；
当时，，，，
当时，，，，
则其中的一个取值是.
故答案为：；（答案不唯一）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】B
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
2．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】方程表示双曲线,则，解得或，
故选：D
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【详解】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，
由双曲线方程得，所以.
故选：D
4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A， ， ，不符合题意；
对于B， ， ，符合题意；
对于C， ，实轴在x轴上，不符合题意；
对于D， ，实轴在x轴上，不符合题意；
故选：B.
5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设内切圆与切于点，
与切于点，
则，，，
又由，
，
，
，
又，
则，，
又，，
所以，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故选：A
7．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，
当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，
若将点代入，得①，
又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.
当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，
联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
故选：C.
8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
二、多选题
9．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
【详解】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误；
对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确；
对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误．
故选：BC．
10．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考阶段练习）已知点在双曲线上，分别是左 右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
【答案】BC
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
11．（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案为：
12．（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以E的轨迹方程为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·高二课时练习）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为.
由题意知：；.
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.则
所以双曲线的标准方程为.
14．（2023·高二单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△中，，
设与的夹角为 ，由余弦定理得：，
；
综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 .
15．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：，
又焦点为，，故可得，
又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则，
又.
故双曲线方程为：.
（2）因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为，
又其焦距为10，故可得；
又该双曲线过点，则，故，
故双曲线方程为：.
（3）不妨设双曲线方程为：，
因其过点，，故可得，
联立方程组可得：，
故所求双曲线方程为：.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】①若方程表示椭圆，则，解得或，故①错误；
②双曲线化成标准方程为，焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，不相同，故②错误；
③双曲线中，
因为M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，
所以由双曲线的定义得，若，则或1，
而双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去，所以，故③错误；
④设，因为A是椭圆上任一点，所以，所以，
又因为直线与椭圆C：交于P，Q两点，所以设，，所以，
因为直线AP与直线AQ的斜率之积为，
所以，
所以，所以，又，所以，故④正确；
结合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以③正确.
对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，
则，
所以，所以，所以④错误.
故答案为：②③
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】，即，故，，设，，．
则，，，，
由得即，
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，
两式相减得，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
综上所述：点的轨迹方程是．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），又，
联立得，得或18.
当时，；当时，舍去.
所以双曲线的方程为：.
（2）设，直线与双曲线联立，得，所以①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：，解得.
由平分，由角平分线定理，则，即.
两边平方得，，整理可得：.
将①代入可得，解得符合题意，所以.
3．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
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课程标准 学习目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.
知识点01：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【详解】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
知识点02：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【答案】或
【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，
可得，即，解得，
又由直线过双曲线的一个焦点，
当时，可得；当时，可得；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或
题型01 双曲线定义的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
题型02利用双曲线定义求方程
【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ．
【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ．
【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
题型05判断方程是否表示双曲线
【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
题型06根据方程表示双曲线求参数
【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型07求双曲线方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
题型08双曲线中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；
【典例3】（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．
【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；
题型09双曲线中的焦点三角形问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ．
【典例5】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 .
【变式1】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【变式2】（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【变式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【变式5】（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
2．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
15．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
3．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程
课程标准 学习目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.
知识点01：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【详解】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
知识点02：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ．
【答案】或
【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，
可得，即，解得，
又由直线过双曲线的一个焦点，
当时，可得；当时，可得；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，
则，此时双曲线的方程为，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或
题型01 双曲线定义的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由双曲线标准方程得：，
由双曲线定义得:
即，
解得（舍去）或，
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【答案】D
【详解】设，，则.
则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.
故选：D.
【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【答案】B
【详解】由，可得，则.
又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.
故选：B
【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】D
【详解】设双曲线的实轴长为，则，
由双曲线的定义知，
，
故选：D
题型02利用双曲线定义求方程
【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
故选：C.
【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】圆N：的圆心，半径，
∵，
∴点在圆N外，则圆P包含圆N，
设圆P的半径为，
由题意可得：，即，可得，
故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，
可得，则，
故动圆圆心P的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，
由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，
又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6，
故，所以，
故双曲线标准方程为.
故答案为：.
【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
【答案】
【详解】
因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，
则，，所以，
所以点的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为.
题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】因为双曲线左支上的点M到右焦点的距离为18，
所以M到左焦点的距离，
N是的中点，O是的中点，所以.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【答案】C
【详解】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】在双曲线中，，，，设点，易知，
若点在双曲线的右支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意；
若点在双曲线的左支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【答案】C
【详解】解：由题知，，
因为在双曲线上，且，
所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故；
所以，
故选：C
【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【详解】
则
故双曲线的两个焦点为,
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
则的最大值为
故选：D
【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,
而，仅当共线且在之间时等号成立，
所以，当共线且在之间时等号成立.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则，
由，
因为，所以，
设，则，．
可得函数在上单调递减，所以，即，
故的最大值为．
故答案为：．
【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.
故选：B
【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】
由双曲线方程知：，，，则，，
由双曲线定义知：，
（当且仅当在线段上时取等号），
又，.
故答案为：.
题型05判断方程是否表示双曲线
【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
【答案】BC
【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.
故选：BC.
【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；
若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；
若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．
故选．
【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【答案】CD
【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；
对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.
故选：CD.
【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
【答案】ABC
【详解】对于A，当，即时，方程可化为，该方程表示圆，故A正确；
对于B，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；
对于C，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
对于D，因为由得无解，
所以当方程化为时，由于，，
所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误.
故选：ABC.
题型06根据方程表示双曲线求参数
【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若方程表示双曲线，则，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为曲线是双曲线，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：.
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】曲线表示双曲线，所以即可.
解得或，
所以实数k的取值范围是：.
故选：B.
【变式2】（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
因为由可推出或，，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
题型07求双曲线方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，设双曲线方程为，
因为，则，
显然圆O的半径为3，
又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
双曲线与圆O交于第一象限内的点为，
于是，解得，
所以双曲线的方程为.
故选：A
【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为；
所以双曲线焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为，且，
点在双曲线上，即，解得；
所以双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
将两点代入可得，解得；
所以双曲线的标准方程为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为，所以，
由双曲线定义可得，又，
所以，
所以，
所以，，
双曲线的方程为
故选：D.
【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
题型08双曲线中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切，
联立，消去并整理得，
所以，即，
将代入，得，
得，因为，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以过点且与垂直的直线为，
令，得，令，得，
则，，
由，得，，
代入，得，即，
故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；
【答案】
【详解】
由题设得，
即，
整理得.
所以曲线的方程为.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．
【答案】去掉顶点的双曲线
【详解】解：设点，因为中的两个顶点是，
所以，，
因为边与边所在直线的斜率之积是，
所以，整理得
所以，顶点的轨迹方程为，
所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线.
【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【答案】；
【详解】
因为，由双曲线的定义可知，
轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，
，即，所以，
所以轨迹的方程为.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；
【答案】（）
【分析】
设，当时，直线的斜率不存在；
当时，直线的斜率不存在．
于是且.此时，的斜率为，的斜率为.
由题意，有，化简可得，
故动点的轨迹的方程为（）
题型09双曲线中的焦点三角形问题
【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【详解】∵为正三角形，
设，则，，又双曲线，
则根据双曲线定义得，
∴，即等边三角形的边长为4，
故的面积为.
故选：A.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设的内切圆与相切于,圆心为,
由切线长的性质以及双曲线定义可得，
又，因此，所以,
设角,且为锐角，由于，
所以，
为内切圆的半径，不妨设，
故在中，，
,
当共线时，此时，
当方向相同时，，当方向相反时，，
因此,
故选：C
【典例4】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ．
【答案】/
【详解】，，则，，，
.
故答案为：.
【典例5】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 .
【答案】 2 9
【详解】由双曲线，可得，,
记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
已知直线的倾斜角为，则，
设△的内切圆半径为，△的内切圆半径为
在中，，
同理，在中，，
所以，所以.
故答案为：2;9.
【变式1】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【详解】由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
【变式2】（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
【变式3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案为：
【变式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【答案】/
【详解】
不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故.
又由双曲线定义得，
故.
故答案为：
【变式5】（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
【答案】 / （答案不唯一）
【详解】由点可知，，所以点在圆，
且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，
联立，解得：或，
则的面积；
当时，，，，
当时，，，，
则其中的一个取值是.
故答案为：；（答案不唯一）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】B
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
2．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】方程表示双曲线,则，解得或，
故选：D
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【详解】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，
由双曲线方程得，所以.
故选：D
4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A， ， ，不符合题意；
对于B， ， ，符合题意；
对于C， ，实轴在x轴上，不符合题意；
对于D， ，实轴在x轴上，不符合题意；
故选：B.
5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设内切圆与切于点，
与切于点，
则，，，
又由，
，
，
，
又，
则，，
又，，
所以，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故选：A
7．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，
当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，
若将点代入，得①，
又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.
当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，
联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
故选：C.
8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
二、多选题
9．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
【详解】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误；
对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确；
对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误．
故选：BC．
10．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考阶段练习）已知点在双曲线上，分别是左 右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
【答案】BC
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
11．（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案为：
12．（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以E的轨迹方程为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·高二课时练习）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为.
由题意知：；.
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.则
所以双曲线的标准方程为.
14．（2023·高二单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△中，，
设与的夹角为 ，由余弦定理得：，
；
综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 .
15．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：，
又焦点为，，故可得，
又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则，
又.
故双曲线方程为：.
（2）因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为，
又其焦距为10，故可得；
又该双曲线过点，则，故，
故双曲线方程为：.
（3）不妨设双曲线方程为：，
因其过点，，故可得，
联立方程组可得：，
故所求双曲线方程为：.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】①若方程表示椭圆，则，解得或，故①错误；
②双曲线化成标准方程为，焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，不相同，故②错误；
③双曲线中，
因为M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，
所以由双曲线的定义得，若，则或1，
而双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去，所以，故③错误；
④设，因为A是椭圆上任一点，所以，所以，
又因为直线与椭圆C：交于P，Q两点，所以设，，所以，
因为直线AP与直线AQ的斜率之积为，
所以，
所以，所以，又，所以，故④正确；
结合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以③正确.
对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，
则，
所以，所以，所以④错误.
故答案为：②③
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】，即，故，，设，，．
则，，，，
由得即，
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，
两式相减得，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
综上所述：点的轨迹方程是．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），又，
联立得，得或18.
当时，；当时，舍去.
所以双曲线的方程为：.
（2）设，直线与双曲线联立，得，所以①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：，解得.
由平分，由角平分线定理，则，即.
两边平方得，，整理可得：.
将①代入可得，解得符合题意，所以.
3．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
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