1.5.1 全称量词与存在量词 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
教学目标：
1.理解全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义
2.会用数学符号语言描述全称量词命题与存在量词命题
教学重点：
掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断
教学难点：
全称量词命题与存在量词命题的应用
复习引入
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．
探索新知
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1) x>3； (2) 2x+1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x+1是整数．
思考
语句（1）和（2）中含有变量x，由于不知道变量x的范围，无法判
断它们的真假，所以它们不是命题
语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，
使(3)变成了可以判断真假的陈述句;
语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，
使(4)变成了可以判断真假的陈述句.
因此，（3）（4）是命题。
全称量词概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
例如，命题“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，
变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一
个x，p（x）成立”，简记为：
x∈M，p(x)
读作“任意”
例题精讲
例1.判断下列全称量词命题的真假．
(1)所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|+1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．
解：（1）∵2是素数,但不是奇数,
∴命题(1)是假命题;
（2）∵|x|≥0，
∴|x|+≥1，
∴命题(2)是真命题；
（3）∵ 是无理数,但 是有理数,
∴命题(3)是假命题;
如果一个大于1的整数，除1和自身外无其它正因数，则称这个正整数为素数，也称 质数
思考
如何判断全称量词命题的真假？
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集
合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集
合M中的一个元素x=x0 ,使得P(x0 )不成立即可.
这个方法就是“举反例”.
关键：举一反例
关键：全都成立
探索新知
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R,使2x +1=3； (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除．
思考
显然，语句（1）和（2）是不能判断真假的，所以不是命题。
语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行
限定,使(3)变成了可以判断真假的陈述句;
语句(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进
行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的陈述句.
因此，（3）（4）是命题。
存在量词概念
短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做全称量词命题．
例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“某一个”等
存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”， 可用符号简记为
x∈M，p(x) ．
含有变量x的语句
读作“存在”
例题精讲
例2.判断下列存在量词命题的真假.
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
解：（1）∵△=-8<0,
∴一元二次方程x2+2x+3=0无实根,
∴命题(1)是假命题;
（2）∵由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平
行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线,
∴命题(2)是假命题;
（3）∵菱形是平行四边形，
∴命题(3)是真命题.
思考
如何判断存在量词命题的真假？
要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，
只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即
集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么这
个存在量词命题是假命题.
关键：找一正例
关键：全不成立
例题精讲
例3.判断下列量词命题的真假．
(1)末位是零的整数，可以被5整除．
(2) x∈R，有|x＋1|>1.
(3) x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
解：（1）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，
所以(1)是真命题.
（2）因为当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以(2)为假命题.
（3）因为当x=0时 ，有3x2＋2>0，所以(3)为真命题．
（4）因为3只有正因数1和3，所以(4)为真命题．
随堂练习
将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.
x∈R，x2≥0
x0<0，ax0 ＋2x0＋1＝0(a<0)
例题精讲
例4.已知命题“任意1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
解：∵ x2－m≥0
∴m ≤ x2
又∵命题“任意1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题
∴m ≤ x2对1≤x≤2恒成立
又 ∵ 1≤x≤2
∴1≤ x2 ≤4
∴m ≤ 1
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}.
m ≤f（x），则m ≤f（x）的最小值
m ≥ f（x），则m ≥ f（x）的最大值
参数分离
例题精讲
例5.已知命题“存在1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
解：∵ x2－m≥0
∴m ≤ x2
又∵命题“存在1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题
∴m ≤ x2对1≤x≤2能成立
又 ∵ 1≤x≤2
∴1≤ x2 ≤4
∴m ≤ 4
所以实数m的取值范围是{m|m≤4}.
m ≤f（x），则m ≤f（x）的最大值
m ≥ f（x），则m ≥ f（x）的最小值
课堂小结
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”，简记为：
x∈M，p(x)
短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做全称量词命题．
存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”， 可用符号简记为
x∈M，p(x) ．
全称量词命题真假的判断：
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个元素x=x0 ,使得P(x0 )
不成立即可.
存在量词命题真假的判断：
要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，
使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)
不成立），那么这个存在量词命题是假命题.
课后练习