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人教版八年级上册期中名校模拟汇编卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在△ABC中和△DEF中，已知AC=DF，∠C=∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC=EF B．AB=DE C．∠A=∠D D．∠B=∠E
2．以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，2cm，3cm
3．如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ）
A．90° B．130° C．270° D．315°
4．如图所示，AC=BD，AB=CD，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（ ）
A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4
C．10x2-5x=5x(2x-1) D．x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
6．下列运算正确的是（ ）
A．a2·a3﹦a6 B．a3+a3﹦a6 C．a·a3﹦a4 D．(－a2)3﹦a6
7．如图，为线段AE上一点（不与点A，E重合），点AE同侧分别作正和正，连结AD，交BC交于点；连结BE，交CD交于点Q，AD与BE交于点.下列结论：①；②；③；④.正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
8．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
9．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
10．如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为
12．如图，，，，则AC的长度等于 ．
13．在 中， ， ， 是 的中线，设 长为m，则m的取值范围是 ．
14．已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
15．若 ，则 。
16．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝13 cm，BC＝12 cm，AC＝5 cm，求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长.
18．如图，如图，已知等腰 ABC 中， AC= AB，BD是 ∠ABC 的角平分线.
（1）尺规作图：作出∠ ACB的角平分线，交 AB 于点E ， 交BD于点F (不写作法，保留作图痕迹)
（2）试判断 △BFC 的形状，并说明理由.
19．如图，在平面直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
20．如图，大海中有两个岛屿A与B，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°，在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°．
（1）判断AE，AB的数量关系，并说明理由；
（2）求∠BAE的度数．
21．如图，在中，，．
（1）若，求的度数．
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝ °，∠DEC＝ °；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
23．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ；
（3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
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人教版八年级上册期中名校模拟汇编卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在△ABC中和△DEF中，已知AC=DF，∠C=∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC=EF B．AB=DE C．∠A=∠D D．∠B=∠E
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
A、根据SAS即可推出△ABC≌△DEF，故选项不符合题意；
B、不能推出△ABC≌△DEF，故选项符合题意；
C、根据AAS即可推出△ABC≌△DEF，故选项不符合题意；
D、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形的判定定理（AAS、SAS、ASA、SSS）即可得出正确答案。
2．以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，2cm，3cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.2+3＞4，能组成三角形；
B.1+2=3，不能组成三角形；
C.3+4＞5，能组成三角形；
D.2+3＞5，能组成三角形．
故答案为：B．
【分析】因为1+2=3，根据三角形三边关系定理可知，1cm，2cm，3cm不能组成三角形。
3．如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ）
A．90° B．130° C．270° D．315°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，
根据CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，
则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，
则∠BPC=180°－50°=130°.
故答案为：B.
【分析】在两个直角三角形中，根据∠A=50°即可求出∠ABE和∠ACD的度数，从而得到∠PBC和∠PCB的度数之和，继而得到∠BPC的度数。
4．如图所示，AC=BD，AB=CD，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=BD，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌DCB
∴∠BAC=∠CDB，同理可证△ABD≌△DCA
∵AB=CD，∠AOB=∠COD
∴△ABO≌DCO
故答案为：C。
【分析】根据三角形的判定定理进行三角形全等的证明即可，根据已知条件，将求得的三角形作为已知条件继续进行证明即可。
5．下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（ ）
A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4
C．10x2-5x=5x(2x-1) D．x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故A不符合题意；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B不符合题意；
C、提公因式法，故C符合题意；
D、右边不是积的形式，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】因式分解是把多项式分解成几个因式的乘积的形式，可排除A、B、D，即可得出正确的选项。
6．下列运算正确的是（ ）
A．a2·a3﹦a6 B．a3+a3﹦a6 C．a·a3﹦a4 D．(－a2)3﹦a6
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、系数相加字母部分不变，故B不符合题意；
C、底数不变指数相加，故C符合题意；
D、（-a2）3=-a6，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的时候只需要把系数相加减，字母和字母的指数都不变，根据法则即可一一判断。
7．如图，为线段AE上一点（不与点A，E重合），点AE同侧分别作正和正，连结AD，交BC交于点；连结BE，交CD交于点Q，AD与BE交于点.下列结论：①；②；③；④.正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①.∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
故正确；
②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故正确；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ；
故正确；
④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°．
故正确；
综上所述，正确的结论有：①②③④．
故答案为：D.
【分析】(1)利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而有 ；
（2）利用ASA证明△ACP≌△BCQ，从而有PC=QC，可得出△PCQ是等边三角形，就可证明∠CPQ=60°，从而可得∠ACB=∠CPQ，利用平行线的判定可得PQ∥AE；
（3）由△ACP≌△BCQ，可得AP=BQ；
（4）先说明∠BCD=60°，再说明∠EDC=60°，然后平行线的判定得出BC∥DE，利用平行线的性质，得出∠CBE=∠DEO，从而可求得∠AOB的度数.
8．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
9．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
10．如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵DN⊥AC，
在Rt△DGN和Rt△DMN中，
∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL），
在Rt△DFA和Rt△DNA中，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL），
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5．
故答案为：B.
【分析】根据题意作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，构造全等三角形利用全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质进行分析求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为
【答案】41°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵AB = CD，
∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD
∵
∴△ACE≌△DBF(SSS)
∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，
∴∠DBF=180°-∠F-∠D=180°-55°-84°=41°
故答案为：41°．
【分析】
根据题意得出：AC=BD，再结合已知条件： AE = DF，CE= BF 用SSS证明三角形全等，得出：∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，再根据三角形内角和定理求出 ∠DBF的大小 ，即：∠DBF=180°-∠F-∠D=180°-55°-84°=41°.
12．如图，，，，则AC的长度等于 ．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
，
，，
，
．
【分析】根据全等三角形的性质可得AC=DF，再利用线段的和差及等量代换可得AF=DC，最后结合，，利用线段的和差求出即可。
13．在 中， ， ， 是 的中线，设 长为m，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AD至点E，使 ，连接CE，
则 ，
是 的中线，
，
在 和 中， ，
，
，
在 中，由三角形的三边关系定理得： ，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】根据全等三角形的判定方法及三角形的三边关系求m的取值范围即可。
14．已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
【答案】等边三角形
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【分析】根据题意，对式子进行因式分解，将式子变形后，根据非负数的性质即可得到a=b=c，得到答案即可。
15．若 ，则 。
【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ ，
解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ ，
解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ ，且 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
16．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝13 cm，BC＝12 cm，AC＝5 cm，求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长.
【答案】（1）解：△ABC的面积＝ BC·AC＝30(cm2).
（2）解：因为△ABC的面积＝ AB·CD＝30 cm2，
所以CD＝30÷( AB)＝30÷ ＝ (cm).
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】(1)根据直角三角形面积的求法，即可得出△ABC的面积；
(2)根据三角形的面积公式即可求得CD的长.
18．如图，如图，已知等腰 ABC 中， AC= AB，BD是 ∠ABC 的角平分线.
（1）尺规作图：作出∠ ACB的角平分线，交 AB 于点E ， 交BD于点F (不写作法，保留作图痕迹)
（2）试判断 △BFC 的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：（1）作图
∴如图所示，CE为所求．
（2）解：△BFC是等腰三角形，理由如下： ∵ AB=AC， ∴∠ABD=∠ACB ．
∵BD平分∠ABD，CE平分∠ACB， ∴∠FBC= ∠ABC ， ∠FCB= ∠ACB， ∴ ∠FBC=∠FCB，∴BF =CF． 即△BFC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图即可求解；
（2）根据等边对等角可得∠ABD=∠ACB ．又因为BD平分∠ABD，CE平分∠ACB，所以根据角平分线的定义可得∠FBC= ∠ABC ， ∠FCB= ∠ACB，所以∠FBC=∠FCB，根据等角对等边可得BF =CF． 即△BFC是等腰三角形。
19．如图，在平面直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
【答案】（1）解：所作图形△A1B1C1如下所示：
（2）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
20．如图，大海中有两个岛屿A与B，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°，在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°．
（1）判断AE，AB的数量关系，并说明理由；
（2）求∠BAE的度数．
【答案】（1）解：AE=AB．理由如下：
∵∠BEF=30°，∠AFE=60°，∴∠EOF=90°．
∵∠BFQ=60°，∠BEF=30°，∴∠EBF=30°，∴BF=EF，∴OE=OB，即AF垂直平分BE，∴AE=AB；
（2）解：∵∠AEP=74°，∠AFP=60°，∴∠EAF=74°－60°=14°．
∵AE=AB，AF⊥BE，∴∠EAO=∠BAO，∴∠BAE=2∠EAO =2∠EAF=28°．
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EOF=90°，再求出∠EBF=30° ，最后求解即可；
（2）先求出 ∠EAF=74°－60°=14°，再求出∠EAO=∠BAO， 最后计算求解即可。
21．如图，在中，，．
（1）若，求的度数．
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∠AED=∠EDC+∠C， ∠ADC=∠B+∠BAD，
又AD=AE，
AED=∠ADE，
AB=AC，
B=C，
B+BAD=EDC+C+EDC，
即BAD=2EDC，
BAD=40°，
EDC=20．
（2）解：∠BAD＝2∠EDC(或∠EDC＝∠BAD )．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC
＝∠ADE＋∠EDC
＝∠AED＋∠EDC
＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC
＝2∠EDC＋∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC，
∴∠EDC＝∠BAD．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质得∠AED=∠EDC+∠C， ∠ADC=∠B+∠BAD ，根据等腰三角形的性质求出∠AED=∠ADE，∠B=∠C 从而即可得出∠BAD=2∠EDC， 代入数据计算，即可解答；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ADE=∠AED，根据角的和差与等量转换推出 ∠BAD＋∠B=2∠EDC＋∠C， 再由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，前后结合即可求得∠EDC=∠BAD.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝ °，∠DEC＝ °；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115
（2）证明：∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．
∵∠B＝∠C，DC＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA）
（3）解：∠BDA＝80° 或∠BDA＝110°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠B=40°，∠BDA=115°
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°；
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD
∴40°+∠EDC=40°+25°
解之：∠EDC=25°，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=40°，
∵∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-40°-25°=115°.
故答案为：25°；115°.
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAD；再利用三角形外角的性质求出∠EDC的度数，利用等腰三角形的性质求出∠C的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠DEC的度数。
（2）根据已知条件易证∠B＝∠C，∠EDC＝∠DAB，再利用ASA可证得结论。
（3）要使△ADE是等腰三角形，分情况进行讨论：①当AD＝AE时；②当DA＝DE时；③当EA＝ED时，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出符合题意的∠BDA的度数即可。
23．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）解：结论：MN=BN-AM．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ；
（3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④
（2）a-1+
（3）解：原式=
=
=
=
=2+ ，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴① =1+ ，是和谐分式；
② =1+ ，不是和谐分式；
③ = =1+ ，是和谐分式；
④ =1+ ，是和谐分式；
故答案为：①③④．
⑵ = = + =a-1+ ，
故答案为：a-1+ ．
【分析】（1）根据和谐分式的概念，逐个判断即可；
（2）先利用配方法对分子变形，再逆用分式的加法法则即可解答；
（3）先利用分式的混合运算法则对其化简，再借助和谐分式的概念，将化简结果变形成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，最后根据x是整数且结果是整数可知x+1=、，据此解答即可。
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