【精品解析】初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系

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名称 【精品解析】初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2020-08-28 10:04:30

文档简介

初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1.(2020八下·柯桥期末)已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为(  )
A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:设方程的另一个根为x1,
根据题意得:2+x1=4,
解得:x1=2.
故答案为:D.
【分析】设方程的另一个根为x1,根据两根之和等于﹣ ,即可得出关于x1的一元一次方程,解之即可得出结论.
2.(2020·黄冈模拟)已知 , 是一元二次方程 的两个实数根且 ,则 的值为(  ).
A.0或1 B.0 C.1 D.-1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵ , 是一元二次方程 的两个实数根,
∴ , ,

∴m=0.
故答案为:B.
【分析】根据根与系数的关系,可得出 , ,再根据 得出一个关于m的一元一次方程,解方程即可得出m的值.
3.(2020八下·河北期中)已知x1,x2是一元二次方程 的两根,则x1+x2的值是(  )
A.0 B.2 C.-2 D.4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵x1,x2是一元二次方程 的两根,∴x1+x2=2.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,即可求解.
4.(2020八下·越城期中)若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为(  )
A.10 B.9 C.7 D.5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:根据题意得α+β=2,αβ=﹣3,
所以α2+β2+αβ=(α+β)2﹣αβ
=22﹣(﹣3)
=7.
故答案为:C.
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2,αβ=﹣3,再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ=(α+β)2﹣αβ,然后利用整体代入的方法计算.
5.(2019九上·宜昌期中)设一元二次方程 的两个实数根为x1,x2,则x1+x1x2+x2等于(  ).
A.1 B.-1 C.0 D.3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】∵一元二次方程 的两个实数根为x1,x2,
∴x1+x2= =2,x1x2= =-3,
∴x1+x1x2+x2=2+(-3)=-1
故答案为:B.
【分析】直接利用根与系数的关系式:x1+x2= ,x1x2= 求解即可.
二、填空题
6.(2020·泰州)方程 的两根为 、 则 的值为   .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵方程 的两根为x1、x2,
∴x1·x2= =-3,
故答案为:-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= 可得.
7.(2020·眉山)设 , 是方程 的两个实数根,则 的值为   .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:由方程 可知


故答案为:
【分析】由韦达定理可分别求出 与 的值,再化简要求的式子,代入即可得解.
8.(2020·宜宾)一元二次方程 的两根为 ,则    
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】∵ ,
∴ , , ,
∴ , ,
∴ ,
= ,
= .
故答案为 .
【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可;
9.(2020·浦口模拟)若方程 的两根 ,则 的值为   .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵ 是方程 的两根
∴ =- =4, = =1
∴ = = =4+1=5.
故答案为:5.
【分析】根据根与系数的关系求出 , 的值,再整体 代入即可求解.
10.(2019九上·融安期中)已知:m2+2m-4=0,n2+2n-4=0,则 的值为   。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:由题意可知m,n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根,
∴mn=-4
原式=
=1.
故答案为:1.
【分析】观察已知两方程各项的系数完全相同,可得到m,n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根,利用一元二次方程根与系数,可求出mn的值,然后代入计算可求解。
三、综合题
11.(2020九上·石城期末)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22-x1x2=7,求m的值。
【答案】(1)解:A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9
=(m-1)2+8
∵(m-1)2≥0
∴Δ=(m-1)2+8>0
∴此方程必有两个不等的数根
(2)解:x12+x22-x1x2=7
(x1+x2)2-3x1x2=7
即(m-3)2+3m=7
解得:m1=1,m2=2
∴m的值为1或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【分析】(1)由题意可知,证明方程根的判别式大于0,即可得到答案;
(2)根据根与系数的关系得到关于m的方程,求出m的值即可得到答案。
12.(2019九上·大田期中)我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现:如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么由求根公式可推出x1+x2=﹣p,x1 x2=q,请根据这一结论,解决下列问题:
(1)若α,p是方程 的两根,则α+β=   ,α β=   ;若2,3是方程 的两根,则m=   ,n=   ;
(2)已知a,b满足 ,求 的值;
(3)已知a,b,c满足 ,求正整数 的最小值,
【答案】(1)3;1;-5;6;
(2)解:
∴ , 是方程 的解.
当 时,是方程
∴ ,
当 时,原式=2;
(3)解:∵ ,
= ,
∴α,b是方程 + =0的解,
≥0,
∵c是正整数,
∴c3-20≥0,即c≥ .
∴正整数c的最小值是3.
∴正整数c的最小值是3.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】(1)解:α,p是方程x2-3x+1=0的两根,则α+β=3,α·β=1;若2,3是方程x2+mx+n=0的两根,则m=-5,n=6;
故答案为:3,1,-5,6;
【分析】(1)根据根与系数的关系即可得到结论;(2)根据α,b满足 得到α,b是方程 的解.当α≠b时,是方程 根据根与系数的关系即可得到结论;当α=b时,原式=2;(3)根据 求得 = ,于是得到α,b是方程x2- =0的解,即可得到结论.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1.(2020八下·柯桥期末)已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为(  )
A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2
2.(2020·黄冈模拟)已知 , 是一元二次方程 的两个实数根且 ,则 的值为(  ).
A.0或1 B.0 C.1 D.-1
3.(2020八下·河北期中)已知x1,x2是一元二次方程 的两根,则x1+x2的值是(  )
A.0 B.2 C.-2 D.4
4.(2020八下·越城期中)若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为(  )
A.10 B.9 C.7 D.5
5.(2019九上·宜昌期中)设一元二次方程 的两个实数根为x1,x2,则x1+x1x2+x2等于(  ).
A.1 B.-1 C.0 D.3
二、填空题
6.(2020·泰州)方程 的两根为 、 则 的值为   .
7.(2020·眉山)设 , 是方程 的两个实数根,则 的值为   .
8.(2020·宜宾)一元二次方程 的两根为 ,则    
9.(2020·浦口模拟)若方程 的两根 ,则 的值为   .
10.(2019九上·融安期中)已知:m2+2m-4=0,n2+2n-4=0,则 的值为   。
三、综合题
11.(2020九上·石城期末)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22-x1x2=7,求m的值。
12.(2019九上·大田期中)我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现:如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么由求根公式可推出x1+x2=﹣p,x1 x2=q,请根据这一结论,解决下列问题:
(1)若α,p是方程 的两根,则α+β=   ,α β=   ;若2,3是方程 的两根,则m=   ,n=   ;
(2)已知a,b满足 ,求 的值;
(3)已知a,b,c满足 ,求正整数 的最小值,
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:设方程的另一个根为x1,
根据题意得:2+x1=4,
解得:x1=2.
故答案为:D.
【分析】设方程的另一个根为x1,根据两根之和等于﹣ ,即可得出关于x1的一元一次方程,解之即可得出结论.
2.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵ , 是一元二次方程 的两个实数根,
∴ , ,

∴m=0.
故答案为:B.
【分析】根据根与系数的关系,可得出 , ,再根据 得出一个关于m的一元一次方程,解方程即可得出m的值.
3.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵x1,x2是一元二次方程 的两根,∴x1+x2=2.
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,即可求解.
4.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:根据题意得α+β=2,αβ=﹣3,
所以α2+β2+αβ=(α+β)2﹣αβ
=22﹣(﹣3)
=7.
故答案为:C.
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2,αβ=﹣3,再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ=(α+β)2﹣αβ,然后利用整体代入的方法计算.
5.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】∵一元二次方程 的两个实数根为x1,x2,
∴x1+x2= =2,x1x2= =-3,
∴x1+x1x2+x2=2+(-3)=-1
故答案为:B.
【分析】直接利用根与系数的关系式:x1+x2= ,x1x2= 求解即可.
6.【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵方程 的两根为x1、x2,
∴x1·x2= =-3,
故答案为:-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= 可得.
7.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:由方程 可知


故答案为:
【分析】由韦达定理可分别求出 与 的值,再化简要求的式子,代入即可得解.
8.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】∵ ,
∴ , , ,
∴ , ,
∴ ,
= ,
= .
故答案为 .
【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可;
9.【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵ 是方程 的两根
∴ =- =4, = =1
∴ = = =4+1=5.
故答案为:5.
【分析】根据根与系数的关系求出 , 的值,再整体 代入即可求解.
10.【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:由题意可知m,n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根,
∴mn=-4
原式=
=1.
故答案为:1.
【分析】观察已知两方程各项的系数完全相同,可得到m,n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根,利用一元二次方程根与系数,可求出mn的值,然后代入计算可求解。
11.【答案】(1)解:A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9
=(m-1)2+8
∵(m-1)2≥0
∴Δ=(m-1)2+8>0
∴此方程必有两个不等的数根
(2)解:x12+x22-x1x2=7
(x1+x2)2-3x1x2=7
即(m-3)2+3m=7
解得:m1=1,m2=2
∴m的值为1或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【分析】(1)由题意可知,证明方程根的判别式大于0,即可得到答案;
(2)根据根与系数的关系得到关于m的方程,求出m的值即可得到答案。
12.【答案】(1)3;1;-5;6;
(2)解:
∴ , 是方程 的解.
当 时,是方程
∴ ,
当 时,原式=2;
(3)解:∵ ,
= ,
∴α,b是方程 + =0的解,
≥0,
∵c是正整数,
∴c3-20≥0,即c≥ .
∴正整数c的最小值是3.
∴正整数c的最小值是3.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】(1)解:α,p是方程x2-3x+1=0的两根,则α+β=3,α·β=1;若2,3是方程x2+mx+n=0的两根,则m=-5,n=6;
故答案为:3,1,-5,6;
【分析】(1)根据根与系数的关系即可得到结论;(2)根据α,b满足 得到α,b是方程 的解.当α≠b时,是方程 根据根与系数的关系即可得到结论;当α=b时,原式=2;(3)根据 求得 = ,于是得到α,b是方程x2- =0的解,即可得到结论.
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