吉林省吉林市船营区第七中学校2023-2024学年九年级下学期开学质量检测数学试题
一、单选题（每题2分，共12分）
1．（2024九下·船营开学考）6的相反数为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
2．（2024九下·船营开学考）如图所示的几何体是由个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·船营开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·船营开学考）在一个不透明的袋子中，装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·船营开学考）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（2024九下·船营开学考）地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为 ．
8．（2024九下·船营开学考）因式分解： ．
9．（2024九下·船营开学考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10．（2024九下·船营开学考）不等式组的解集是 ．
11．（2024九下·船营开学考）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边分别交于点，若，则 ．
12．（2024九下·船营开学考）如果温度上升记作，那么下降记作 ．
13．（2024九下·船营开学考）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
14．（2024九下·船营开学考）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
三、计算题（每题5分，共20分）
15．（2024九下·船营开学考）计算：.
16．（2024九下·船营开学考）先化简，再求值：，其中x=4．
17．（2024九下·船营开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
18．（2024九下·船营开学考）如图， 于 ， 于 ，若 ， .求证： 平分 .
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（2024九下·船营开学考）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格.
20．（2024九下·船营开学考）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．
（1）轮船的速度是 千米/时，快艇的速度是 千米/时；
（2）分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
（3）快艇出发多长时间赶上轮船？
21．（2024九下·船营开学考）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．
22．（2024九下·船营开学考）某数学活动小组利用测角仪测量旗杆的高度，如图，已知测角仪高，测角仪的底部C与旗杆底部B处之间的距离是，已知从D处看旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高度（结果保留整数，参考数据：，，）．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（2024九下·船营开学考）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】
（1）【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ （ ）
∴ （等量代换）
∴（ ）
（2）【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
⑴猜想与的数量关系，并说明理由；
⑵若，，求的长．
24．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐示为 ，过点A作 轴于点D，过点B作 轴于点C，连接 ， ．
（1）求k的值．
（2）若D为 中点，求四边形 的面积．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（2024九下·船营开学考）如图，在矩形 中， ， 为边 上一点， ，连接 ．动点 从点 同时出发，点 以 的速度沿 向终点 运动；点 以 的速度沿折线 向终点 运动．设点 运动的时间为 ，在运动过程中，点 ，点 经过的路线与线段 围成的图形面积为 ．
（1） ， °；
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 时，直接写出 的值．
26．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】6的相反数为：﹣6．
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（3xy）2=9x2y2，故选项A符合题意；
B、（y3）2=y6，故选项B不合题意；
C、x2·x2=x4，故选项C不合题意；
D、x6÷x2=x4，故选项D不合题意．
故答案为：A.
【分析】直接利用积的乘方运算法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐项化简即可求解.
4．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
黑球的个数为：
=3×4-3
=12-3
=9，
故答案为：D.
【分析】根据题意和题目中的数据，根据概率公式列出算式，计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．
故答案为：B.
【分析】结合题意写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵点B（6，0），
∴OB=6，
∵ 将绕着点B顺时针旋转，得到，
∴∠OBC=60°，OB=BC=6，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∴OE=6-3=3，
∴点C.
故答案为：B.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，利用点B的坐标可得到OB的长，利用旋转的性质可证得∠OBC=60°，OB=BC=6，利用解直角三角形求出CE，BE的长，可得到OE的长，即可得到点C的坐标.
7．【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61，
所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用学科记数法的表达方法求解即可。
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
9．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：且 ，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：x＞3，
解不等式②，得：x＞6，
∴该不等式组的解集是：；
故答案为： .
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AB//CD，∠BEF=64°，
∴∠CKE=∠BEF=64°，
∵∠F=30°，∠CKE=∠F+∠FHK，
∴∠FHK=∠CKE-∠F=64°-30°=34°，
∵∠GHC与∠FHK是对顶角，
∴∠GHC=∠FHK=34°，
故答案为：34°.
【分析】先利用平行线的性质可得∠CKE=∠BEF=64°，再利用三角形外角的性质及等量代换可得∠GHC=∠FHK=34°.
12．【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】∵温度上升记作，
∴下降记作，
故答案为：.
【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。
13．【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
14．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∴∠B=90°-∠C=90°-40°=50°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=50°，
∴∠AOD=∠B+∠ODB=50°+50°=100°.
故答案为：100.
【分析】利用切线的性质可证得∠A=90°，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用等边对等角可得到∠ODB的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠AOD的度数.
15．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算乘方，绝对值及零指数幂，再计算加减即可.
16．【答案】解：原式=
=
=
= x-1
当x=4时，原式=4-1=3．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
17．【答案】（1）解：解：如图所示，△ABE即为所求；
（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及题目要求作图即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点C、D向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的对应点M、N，连接MN、EN，进而根据勾股定理算出EN的长度即可.
18．【答案】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到DE=DF，即可得出 平分 .
19．【答案】解：设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元，
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
所以，原分式方程的解为 ，
答：每套《三国演义》的价格为80元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元， 则用3200元购买《三国演义》的套数为套， 用2400元购买《西游记》套数为 套，根据 用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍 列出方程，求解并检验即可。
20．【答案】（1）20；40
（2）解：设表示轮船行驶过程的解析式为，将点代入得，，
∴表示轮船行驶过程的函数解析式为：，
设表示快艇行驶过程的解析式为：，将代入得，
，
解得：
∴表示快艇行驶过程的解析式为：
（3）解：设快艇出发与轮船相遇，
，
得，
故答案为：；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据函数图象可得：轮船的速度为（160-0）÷（8-0）=20千米/时；快艇的速度为（160-0）÷（6-2）=40千米/时，
故答案为：20；40.
【分析】（1）结合函数图象中的数据，再利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可；
（2）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设快艇出发与轮船相遇，根据题意列出方程，再求解即可.
21．【答案】（1）解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20％，
∴这次调查中，一共抽取了名学生；
（2）解：最喜欢编织课的学生人数为人，
补全统计图如图所示，
（3）解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有名.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）用喜欢泥塑课的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数分别减去喜欢“ 园艺课，泥塑课，烹饪课 ”的学生人数可算出喜欢编织课的学生人数，据此补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢烹饪课的学生人数所占的百分比可估计该中学最喜欢烹任课的学生人数.
22．【答案】解：过D作于F，
则，，
在中，，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作于F，先利用解直角三角形的方法求出AF的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
23．【答案】（1）；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；
（2）解：⑴
理由如下：
∵由四边形折叠得到四边形
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴
∴（等角对等边）
∵
∴ 即；
⑵∵矩形沿所在直线折叠
∴，，．
设
∴
在中，
∴（勾股定理）
∴ 解得
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质、折叠的性质及等量代换分析求解即可；
（2）①利用矩形的性质、折叠的性质及等量代换分析求解即可；
②设 ，则，利用勾股定理可得，再将数据代入求出x的值，最后求出即可.
24．【答案】（1）解：将点A的坐标为 代入 ，
可得 ，
的值为8；
（2）解： 的值为8，
函数 的解析式为 ，
为 中点， ，
，
点B的横坐标为4，将 代入 ，
可得 ，
点 的坐标为 ，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标为 代入 ，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
25．【答案】（1）3 ；45
（2）解：当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP= x，∠DAE=45°，PF⊥AD，
∴PF=x=AF，
∴y=S△PQA= ×AQ×PF=x2
当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF=AF=x，QD=2x-4，
∴DF=4-x，
∴y= x2+ （2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8；
当3＜x≤ 时，如图，点P与点E重合．
∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm，
∴y= （1+4）×3- （7-2x）×1=x+4；
（3）解：当0＜x≤2时，
∵QF=AF=x，PF⊥AD，
∴PQ=AP.
∵PQ= cm，
∴ x= ，
∴x= ；
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD，
∴四边形MPFD是矩形，
∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x，
∴MQ=x-（2x-4）=4-x.
∵MP2+MQ2=PQ2，
∴（4-2x）2+（4-x）2= ，
∵△＜0，
∴方程无解，
当3＜x≤ 时，
∵PQ2=CP2+CQ2，
∴ =1+（7-2x）2，
∴x= ，
综上所述：x= 或 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm，
∴AE= cm，∠BAE=∠BEA=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°
故答案为：3 ，45；
【分析】（1）根据勾股定理计算得到AE的长度，根据等腰三角形的性质即可得到∠EAD的度数；
（2）分三种情况进行讨论，根据面积的和差关系进行计算即可。
（3）分三种情况进行讨论，根据勾股定理求出答案即可。
26．【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）易得△PMD为等腰直角三角形，可得，当PD的值最大时，PM的值就最大，设点P的坐标为，则，可得，据此求出PD的最大值，继而得出PM的最大值即可.
1 / 1吉林省吉林市船营区第七中学校2023-2024学年九年级下学期开学质量检测数学试题
一、单选题（每题2分，共12分）
1．（2024九下·船营开学考）6的相反数为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】6的相反数为：﹣6．
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解.
2．（2024九下·船营开学考）如图所示的几何体是由个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可.
3．（2024九下·船营开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（3xy）2=9x2y2，故选项A符合题意；
B、（y3）2=y6，故选项B不合题意；
C、x2·x2=x4，故选项C不合题意；
D、x6÷x2=x4，故选项D不合题意．
故答案为：A.
【分析】直接利用积的乘方运算法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐项化简即可求解.
4．（2024九下·船营开学考）在一个不透明的袋子中，装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
黑球的个数为：
=3×4-3
=12-3
=9，
故答案为：D.
【分析】根据题意和题目中的数据，根据概率公式列出算式，计算即可求解.
5．（2024九下·船营开学考）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．
故答案为：B.
【分析】结合题意写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.
6．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵点B（6，0），
∴OB=6，
∵ 将绕着点B顺时针旋转，得到，
∴∠OBC=60°，OB=BC=6，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∴OE=6-3=3，
∴点C.
故答案为：B.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，利用点B的坐标可得到OB的长，利用旋转的性质可证得∠OBC=60°，OB=BC=6，利用解直角三角形求出CE，BE的长，可得到OE的长，即可得到点C的坐标.
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（2024九下·船营开学考）地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为 ．
【答案】3.61×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61，
所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用学科记数法的表达方法求解即可。
8．（2024九下·船营开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
9．（2024九下·船营开学考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：且 ，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
10．（2024九下·船营开学考）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：x＞3，
解不等式②，得：x＞6，
∴该不等式组的解集是：；
故答案为： .
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
11．（2024九下·船营开学考）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边分别交于点，若，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AB//CD，∠BEF=64°，
∴∠CKE=∠BEF=64°，
∵∠F=30°，∠CKE=∠F+∠FHK，
∴∠FHK=∠CKE-∠F=64°-30°=34°，
∵∠GHC与∠FHK是对顶角，
∴∠GHC=∠FHK=34°，
故答案为：34°.
【分析】先利用平行线的性质可得∠CKE=∠BEF=64°，再利用三角形外角的性质及等量代换可得∠GHC=∠FHK=34°.
12．（2024九下·船营开学考）如果温度上升记作，那么下降记作 ．
【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】∵温度上升记作，
∴下降记作，
故答案为：.
【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。
13．（2024九下·船营开学考）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
14．（2024九下·船营开学考）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∴∠B=90°-∠C=90°-40°=50°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=50°，
∴∠AOD=∠B+∠ODB=50°+50°=100°.
故答案为：100.
【分析】利用切线的性质可证得∠A=90°，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用等边对等角可得到∠ODB的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠AOD的度数.
三、计算题（每题5分，共20分）
15．（2024九下·船营开学考）计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算乘方，绝对值及零指数幂，再计算加减即可.
16．（2024九下·船营开学考）先化简，再求值：，其中x=4．
【答案】解：原式=
=
=
= x-1
当x=4时，原式=4-1=3．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
17．（2024九下·船营开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：解：如图所示，△ABE即为所求；
（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及题目要求作图即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点C、D向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的对应点M、N，连接MN、EN，进而根据勾股定理算出EN的长度即可.
18．（2024九下·船营开学考）如图， 于 ， 于 ，若 ， .求证： 平分 .
【答案】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到DE=DF，即可得出 平分 .
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（2024九下·船营开学考）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格.
【答案】解：设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元，
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
所以，原分式方程的解为 ，
答：每套《三国演义》的价格为80元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元， 则用3200元购买《三国演义》的套数为套， 用2400元购买《西游记》套数为 套，根据 用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍 列出方程，求解并检验即可。
20．（2024九下·船营开学考）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．
（1）轮船的速度是 千米/时，快艇的速度是 千米/时；
（2）分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
（3）快艇出发多长时间赶上轮船？
【答案】（1）20；40
（2）解：设表示轮船行驶过程的解析式为，将点代入得，，
∴表示轮船行驶过程的函数解析式为：，
设表示快艇行驶过程的解析式为：，将代入得，
，
解得：
∴表示快艇行驶过程的解析式为：
（3）解：设快艇出发与轮船相遇，
，
得，
故答案为：；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据函数图象可得：轮船的速度为（160-0）÷（8-0）=20千米/时；快艇的速度为（160-0）÷（6-2）=40千米/时，
故答案为：20；40.
【分析】（1）结合函数图象中的数据，再利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可；
（2）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设快艇出发与轮船相遇，根据题意列出方程，再求解即可.
21．（2024九下·船营开学考）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．
【答案】（1）解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20％，
∴这次调查中，一共抽取了名学生；
（2）解：最喜欢编织课的学生人数为人，
补全统计图如图所示，
（3）解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有名.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）用喜欢泥塑课的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数分别减去喜欢“ 园艺课，泥塑课，烹饪课 ”的学生人数可算出喜欢编织课的学生人数，据此补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢烹饪课的学生人数所占的百分比可估计该中学最喜欢烹任课的学生人数.
22．（2024九下·船营开学考）某数学活动小组利用测角仪测量旗杆的高度，如图，已知测角仪高，测角仪的底部C与旗杆底部B处之间的距离是，已知从D处看旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高度（结果保留整数，参考数据：，，）．
【答案】解：过D作于F，
则，，
在中，，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作于F，先利用解直角三角形的方法求出AF的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（2024九下·船营开学考）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】
（1）【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ （ ）
∴ （等量代换）
∴（ ）
（2）【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
⑴猜想与的数量关系，并说明理由；
⑵若，，求的长．
【答案】（1）；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；
（2）解：⑴
理由如下：
∵由四边形折叠得到四边形
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴
∴（等角对等边）
∵
∴ 即；
⑵∵矩形沿所在直线折叠
∴，，．
设
∴
在中，
∴（勾股定理）
∴ 解得
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质、折叠的性质及等量代换分析求解即可；
（2）①利用矩形的性质、折叠的性质及等量代换分析求解即可；
②设 ，则，利用勾股定理可得，再将数据代入求出x的值，最后求出即可.
24．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐示为 ，过点A作 轴于点D，过点B作 轴于点C，连接 ， ．
（1）求k的值．
（2）若D为 中点，求四边形 的面积．
【答案】（1）解：将点A的坐标为 代入 ，
可得 ，
的值为8；
（2）解： 的值为8，
函数 的解析式为 ，
为 中点， ，
，
点B的横坐标为4，将 代入 ，
可得 ，
点 的坐标为 ，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标为 代入 ，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（2024九下·船营开学考）如图，在矩形 中， ， 为边 上一点， ，连接 ．动点 从点 同时出发，点 以 的速度沿 向终点 运动；点 以 的速度沿折线 向终点 运动．设点 运动的时间为 ，在运动过程中，点 ，点 经过的路线与线段 围成的图形面积为 ．
（1） ， °；
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 时，直接写出 的值．
【答案】（1）3 ；45
（2）解：当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP= x，∠DAE=45°，PF⊥AD，
∴PF=x=AF，
∴y=S△PQA= ×AQ×PF=x2
当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF=AF=x，QD=2x-4，
∴DF=4-x，
∴y= x2+ （2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8；
当3＜x≤ 时，如图，点P与点E重合．
∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm，
∴y= （1+4）×3- （7-2x）×1=x+4；
（3）解：当0＜x≤2时，
∵QF=AF=x，PF⊥AD，
∴PQ=AP.
∵PQ= cm，
∴ x= ，
∴x= ；
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD，
∴四边形MPFD是矩形，
∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x，
∴MQ=x-（2x-4）=4-x.
∵MP2+MQ2=PQ2，
∴（4-2x）2+（4-x）2= ，
∵△＜0，
∴方程无解，
当3＜x≤ 时，
∵PQ2=CP2+CQ2，
∴ =1+（7-2x）2，
∴x= ，
综上所述：x= 或 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm，
∴AE= cm，∠BAE=∠BEA=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°
故答案为：3 ，45；
【分析】（1）根据勾股定理计算得到AE的长度，根据等腰三角形的性质即可得到∠EAD的度数；
（2）分三种情况进行讨论，根据面积的和差关系进行计算即可。
（3）分三种情况进行讨论，根据勾股定理求出答案即可。
26．（2024九下·船营开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）易得△PMD为等腰直角三角形，可得，当PD的值最大时，PM的值就最大，设点P的坐标为，则，可得，据此求出PD的最大值，继而得出PM的最大值即可.
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