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《锐角三角函数》同步提升训练题（一）
一．选择题（共23小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴可设BC＝3x，AB＝5x，
∴，
A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（ ）
A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴cotB，sinB，sinA，cosA，
即b，b＝csinB，c，b＝ccosA，
故选：C．
3．在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做锐角的余弦，由此即可计算．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴cosB．
故选：C．
4．如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】利用锐角三角函数中余弦的定义，得到cosA，从而得到结果．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴cosA．
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：由题意可得：，
∴．
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得
AB．
由锐角的余弦，得cosA．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值，进行逐个计算，即可作答．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC，
A、sinA，原表示错误，不符合题意；
B、tanA，原表示错误，不符合题意；
C、cosA，原表示错误，不符合题意；
D、tanB原表示正确，符合题意；
故选：D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【思路点拔】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．
【解答】解：A、sinB，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴．
故选：B．
10．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【解答】解：如图，tan∠AOB2．
故选A．
11．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，即sinA＝∠A的对边除以斜边．
【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长5，
∴sinα，
故选：A．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【解答】解：如图，tanA．
故选B．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据三角函数的定义即可求得tanA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴tanA．
故选：B．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据余弦的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，
由锐角的余弦，得，
故选：D．
15．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝6，AC＝10，
∴，
∴，
故选：A．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：根据题意画出图如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴．
故选：C．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解．
【解答】解：根据勾股定理可得，
则cosB．
故选：B．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边解答即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得，BC12，
sinA．
故选C．
19．已知在△ABC中，∠C＝90°，45°＜∠B＜60°，设cosB＝n，那么n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得．
【解答】解：由题意可得：cos60°＜cosB＜cos45°，
∴，
故选：B．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，
∴BC
，
∴cosB．
故选：C．
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么下列各式中不正确的是（ ）
A．cosA B．sinA C．tanA D．cosB
【思路点拔】利用勾股定理求出AC的长，最后根据锐角三角函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC3，
∴cosA，故A不符合题意；
sinA，故B不符合题意；
tanA，故C不符合题意；
cosB，故D符合题意；
故选：D．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍
C．不变 D．不能确定
【思路点拔】根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，
∴∠A的正弦值不变．
故选：C．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，
∴，
∴，，，，
∴A、C、D错误，B正确．
故选：B．
二．填空题（共22小题）
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，，那么AC＝ ．
【思路点拔】先根据余弦定义求得BC，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，，
∴，
∴．
故答案为：．
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ 2cosα ．（结果用α的锐角三角函数表示）
【思路点拔】根据余弦的定义可得BC＝AB cosB＝2cosα．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，
∵cosB，
∴BC＝AB cosB＝2cosα．
故答案为：2cosα．
26．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，，则BC＝ 6 ．
【思路点拔】根据正弦的定义得到sinA，设BC＝3x，则AB＝5x，根据勾股定理得AC＝4x，再进一步求解即可．
【解答】解：∵，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
∴，
∵AC＝8，
∴4x＝8，
解得x＝2，
∴BC＝3x＝6．
故答案为：6．
27．在△ABC中，∠C＝90°，，△ABC的周长为60，那么AB为 26 ．
【思路点拔】根据△ABC中，∠C是直角，利用锐角三角函数的定义，即可得到结果．
【解答】解：如图：
∵∠C＝90°，，
∴tanA，
∴设AC＝5x，则BC＝12x，
∴在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝（13x）2，
∴AB＝13x，
∵△ABC的周长为60，
∴AB+AC+BC＝60，
∴5x+12x+13x＝60，
∴30x＝60，
∴x＝2，
∴AB＝13x＝26．
故答案为：26．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，则cos∠ABC的值是 ．
【思路点拔】用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得，
∴，
故答案为：．
29．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
【思路点拔】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°．
故答案为：．
30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC＝ 6 ．
【思路点拔】先根据锐角三角函数的定义求出AB的值，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
∴AB＝10，
∴，
故答案为：6．
31．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
【思路点拔】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABOAB hAO BO sin∠AOB可得答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝2，AO2，BO2，
∵S△ABOAB hAO BO sin∠AOB，
∴2×222sin∠AOB，
∴sin∠AOB，
故答案为：．
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝2，则AB＝ 4 ．
【思路点拔】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA＝2，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA，
∵AC＝4，tanA＝2，
∴BC＝AC tanA＝8，
∴AB4．
故答案为：4．
33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝ ．
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4，
∴tanA，
故答案为：．
34．在△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝4，则AB的值是 10 ．
【思路点拔】根据正弦函数的定义得出sinA，即，即可得出AB的值．
【解答】解：∵sinA，即，
∴AB＝10，
故答案为：10．
35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB，如果AB＝14，那么AC＝ 4 ．
【思路点拔】根据cosB，AB＝14，得cosB，求出BC＝10，再根据勾股定理可得AC的长．
【解答】解：∵cosB，AB＝14，
∴cosB，
∴BC＝10，
∴AC4．
故答案为：．
36．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是 ．
【思路点拔】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC．
故答案为：．
37．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝ 4 ．
【思路点拔】利用正切的定义计算即可．
【解答】解：∵tanB2，
∴AC＝2BC，
∵BC＝2，
∴AC＝4，
故答案为：4．
38．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，cosA，则AC等于 6 ．
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AB＝10，cosA，
∴AC＝cosA AB
10
＝6，
故答案为：6．
39．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则 ．
【思路点拔】根据题意画出图形，设BC，则AC＝5x，由勾股定理求出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，tanA，
∴，
设BC，则AC＝5x，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
40．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA，则AC＝ ．
【思路点拔】根据锐角三角函数定义，得出，然后把BC＝4代入，求出AB的长，再根据勾股定理，计算即可得出AC的长．
【解答】解：如图，
∵BC＝4，，
∴，
∴AB＝6，
∴．
故答案为：．
41．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA＝ ．
【思路点拔】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
从图形可知：AE＝4，CE＝2，
由勾股定理得：AC，
cosA，
故答案为：．
42．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．
【思路点拔】根解直角三角形的方法求解即可．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
43．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
【思路点拔】直接连接BC，进而得出∠ABC＝90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BC，
∵AB＝BC，AC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠BAC．
故答案为：．
44．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝ 16 ．
【思路点拔】先利用三角函数求出AB的长，在根据勾股定理可以求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，即，
∴AB＝20，
由勾股定理得：，
故答案为：16．
45．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为 ．
【思路点拔】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由图形知：，
故答案为：．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值．
【思路点拔】利用勾股定理求得BC，然后根据锐角三角函数定义即可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
则sinC；cosC；tanC．
47．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值．
【思路点拔】设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，根据勾股定理求出DE，BE，即可求出答案．
【解答】解：
过D作DE⊥AB于E，
设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，
由勾股定理得：BDa，
由勾股定理得：AB2a，
∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°，
∴AE＝DE＝AD×cosAaa，
∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BEa，
∴sin∠ABD，
tan∠ABD．
48．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值．
【思路点拔】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义求出sinB的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，
∴sinA，
即，
∴AB＝6，
∴AC4，
∴sinB．
49．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
．
利用这些公式求出下列三角函数值．
（1）sin75°；
（2）cos105°．
【思路点拔】（1）根据sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，把sin75°写成sin（30°+45°），将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果；
（2）根据cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，把cos105°写成cos（45°+60°），将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果．
【解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
；
（2）cos105°＝cos（45°+60°）
＝cos45°cos60°﹣sin45°sin60°
．
50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
【思路点拔】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC＝4，在Rt△ABC中求得AB＝4，再根据三角函数的定义求解可得．
【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB4，
则sinA，
cosA，
tanA．
51．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝9．求AC的长、sinA和tanB的值．
【思路点拔】根据勾股定理求出AC，根据正弦、正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝9，
由勾股定理得：AC3，
则sinA，
tanB．
52．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．
（1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA ≠ （填“＝”或“≠”）．
（2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值．
（3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值．
【思路点拔】（1）根据锐角三角函数公式即可求解；
（2）根据题意可知∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝9，即可求解的值；
（3）作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，根据直角三角形BC＝1，，设AE＝x，x2＝（3﹣x）2+1，解得，即可解得tan2A的值．
【解答】解：（1），，
∴，
故答案为：≠；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴．
∴AD＝AB＝5，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝9，
∴．
（3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，．
∴BC＝1，．
设AE＝x，则EC＝3﹣x，
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得，即，．
∴．
53．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC的长．
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义可得tanA，再把BC＝3，tanA代入即可算出AC的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA，
∵BC＝3，tanA，
∴，
解得：AC．
54．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB．
【思路点拔】利用三角函数的定义可以求得AB的长，再利用勾股定理可求得AC即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA，
∵BC＝10，sinA，
∴，
∴AB＝26，
∴AC24．
55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
【思路点拔】（1）关键根据勾股定理求出BC；
（2）根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC，
∴sinA．
56．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【思路点拔】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
sinA．
答：AC的长为4，sinA的值为．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
【思路点拔】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC8，
所以sinA，cosA，tanA．
58．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA，求b．
【思路点拔】根据直角三角形的边角关系求解即可．
【解答】解：（1）∵sinB，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA，
∴a＝4，
∴b8，
59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．求sinA，cosA，tanA的值．
【思路点拔】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB13，
∴sinA，cosA，tanA．
60．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
【思路点拔】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BCx，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【解答】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
设AC＝3x，AB＝4x，
由勾股定理得：BCx，
在Rt△ABC中，cosB．中小学教育资源及组卷应用平台
《锐角三角函数》同步提升训练题（一）
一．选择题（共23小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（ ）
A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA
3．在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A．2 B． C． D．
11．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
15．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知在△ABC中，∠C＝90°，45°＜∠B＜60°，设cosB＝n，那么n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么下列各式中不正确的是（ ）
A．cosA B．sinA C．tanA D．cosB
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍
C．不变 D．不能确定
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共22小题）
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，，那么AC＝ ．
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ ．（结果用α的锐角三角函数表示）
26．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，，则BC＝ ．
27．在△ABC中，∠C＝90°，，△ABC的周长为60，那么AB为 ．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，则cos∠ABC的值是 ．
29．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC＝ ．
31．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝2，则AB＝ ．
33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝ ．
34．在△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝4，则AB的值是 ．
35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB，如果AB＝14，那么AC＝ ．
36．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是 ．
37．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝ ．
38．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，cosA，则AC等于 ．
39．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则 ．
40．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA，则AC＝ ．
41．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA＝ ．
42．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．
43．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
44．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝ ．
45．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为 ．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值．
47．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值．
48．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值．
49．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
．
利用这些公式求出下列三角函数值．
（1）sin75°；
（2）cos105°．
50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
51．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝9．求AC的长、sinA和tanB的值．
52．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．
（1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA （填“＝”或“≠”）．
（2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值．
（3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值．
53．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC的长．
54．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB．
55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
56．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
58．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA，求b．
59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．求sinA，cosA，tanA的值．
60．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
