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浙教版2024年八年级上册初中数学期中考试试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．（3分）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2°
C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3°
【思路点拔】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可．
【解答】解：A、92°﹣40°＝52°，52°是锐角，故本选项不符合题意；
B、89°不是钝角，故本选项不符合题意；
C、110°﹣30°＝80°，80°是锐角，故本选项不符合题意；
D、103°﹣3°＝100°，100°是钝角，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠E＝45°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】先根据全等三角形的性质得到∠B＝∠E＝45°，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝45°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣75°﹣45°＝60°．
故选：C．
4．（3分）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可．
【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（ ）°．
A．70 B．80 C．90 D．100
【思路点拔】在吗△ABD≌△CBE（SAS），得∠1＝∠BAD，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1＝∠BAD，
∵∠BAD+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
6．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【思路点拔】先证明△EDC和△BDC全等得DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，则BE＝2，再根据∠A＝∠ABE得AE＝BE＝2，由此可得出AC的长．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
∵BE⊥CD，
∴∠EDC＝∠BDC＝90°，
在△EDC和△BDC中，
，
∴DE＝BD，EC＝BC，
∵BD＝1，BC＝3，
∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，
∴BE＝DE+BD＝2，
∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝5．
故选：C．
7．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．0＜a≤1 D．0≤a＜1
【思路点拔】先求出不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，来确定a的取值范围．
【解答】解：解不等式4﹣（x﹣2）≥3的解为：x≤3；
解不等式3x﹣2a＞2x的解为：x＞a，
∴不等式组的解集为：a＜x≤3．
当a＝﹣1时，
则：﹣1＜x≤3，
即整数解有：3，2，1，0．
当a＝0时，
则：0≤x≤3，
即整数解有：3，2，1（不符合题意）．
∴不等式组的解集为：
∴﹣1≤a＜0．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）
A．8 B．3 C．6 D．4
【思路点拔】连接AD，AP．由AB＝AC，点D是BC边的中点，则AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论，
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，点D为BC边的中点，连接AD，AP，
∴AD⊥BC，
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短，
故选：A．
9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ）
A．31 B．51 C．53 D．63
【思路点拔】由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第四代勾股树中正方形的个数．
【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）；
∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）；
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
【思路点拔】设AC＝a，BC＝b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
∴S△ABCab，
AB，
在等腰直角三角形中，
AE＝EC，
CF＝BF，
AD＝BD，
在Rt△AED中，
EDb，
DC＝EC﹣ED（a﹣b），
A：S4AE ED b aab ab S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，
则S3+S△ADM＝S△ADC CD AE（a﹣b）a，
又∵S1+S△ADM＝S△ADB AD2 ，
∴（S1+S△ADM）﹣（S3+S△ADM）＝S1﹣S3S△ABC，
则S1﹣S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFDFD BF a b，
∴S△ADM+S3 （a﹣b） a（a2﹣ab），
S△BCM+S3＝S△BCD CD BF （a﹣b） b（ab﹣b2），
S△ADM+S1＝S△ADB（a2+b2），
S△BCM+S1＝S△ABC，
S2BF2 ，
S2+S3+S4＝S梯形AEFB﹣S△ABD﹣S△ABC+S1，
∴S2+S3+S4＝S1
∵S1无法确定，
∴无法确定C；
D：由B选项过程得S1﹣S3，
又∵S2 b2，
得到：S1+S2﹣S3b2abb2S△ABC，
此时S1+S2﹣S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是 4.8cm ．
【思路点拔】由勾股定理求出斜边长＝10cm，再由三角形面积即可求解．
【解答】解：设Rt△ABC斜边上的高为h cm，
∵Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，
∴斜边长10（cm），
∵10×h6×8，
∴h＝4.8（cm），
即Rt△ABC的斜边上的高是4.8cm．
故答案为：4.8cm．
12．（4分）用三个不等式中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 3 个，请同学们写出一个真命题 若a＞b，ab＞0，则（答案不唯一） ．
【思路点拔】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴，
∴；
②若ab＞0，，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴abab，
∴a＞b．
③若a＞b，，则ab＞0，真命题；
理由：∵，
∴0，
即0，
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故答案为：3；若a＞b，ab＞0，则（答案不唯一）．
13．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多2，若AB＝6，则AC的长为 4 ．
【思路点拔】根据三角形中线的定义得出BD＝CD，再根据“△ABD的周长比△ACD的周长大2”，推出AB﹣AC＝2，即可求解．
【解答】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大2，
∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2，
∵AB＝6，
∴AC＝4．
故答案为：4．
14．（4分）某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润率不低于20%，那么商店最多打 8 折出售此商品．
【思路点拔】设此商品最低打x折，根据利润率不低于20%，列出不等式，求出x的最小整数解即可．
【解答】解：设商店最低打x折出售此商品，
由题意得，1500×0.1x≥1000×（1+20%）．
解得：x≥8．
故商店最低打8折出售此商品，
故答案为：8．
15．（4分）如图，∠AOB内有一点P，∠AOB＝35°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点．当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 110° ．
【思路点拔】作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于M，N．可推出CM＝PM，PN＝DN，从而∠CPM＝∠C，∠DPN＝∠D，进而得出∠PMN＝2∠MPC，∠PNM＝2∠DPN，根据∠PMN+∠PNM+∠MPN＝180°得出2（∠MPC+∠NPD）+（∠RPD﹣∠MPC﹣∠NPD）＝180°，从而得出∠MPC+∠NPC＝35°，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于M，N．此时△PNM周长有最小值；
∵P关于OB、OA的对称点C、D，
∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD，
∴CM＝PM，PN＝DN，
∴∠CPM＝∠C，∠DPN＝∠D，
∴∠PMN＝∠C+∠CPM＝2∠MPC，∠PNM＝2∠DPN，
∵∠PRM＝∠PTN＝90°，
∴∠RPD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣35°＝145°，
∵∠PMN+∠PNM+∠MPN＝180°，
∴2（∠MPC+∠NPD）+（∠RPD﹣∠MPC﹣∠NPD）＝180°，
∴2（∠MPC+∠NPD）+（145°﹣∠MPC﹣∠NPD）＝180°，
∴∠MPC+∠NPC＝35°，
∴∠MPN＝∠RPD﹣（∠MPC+∠NPD）＝145°﹣35°＝110°，
故答案为：110°．
16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有 ①②③ ．
①△ABE≌△DCE；②∠ABE+∠CED＝45°；③BE⊥EC；④S△ABC＝S△EBC．
【思路点拔】由题意可得出CD＝AB，AE＝DE，∠BAE＝∠CDE，即可证△ABE≌△DCE（SAS），可判断①；由全等三角形的性质可得出∠ABE＝∠DCE，结合三角形外角的性质可得出∠CED+∠ABE＝45°，可判断②；由全等三角形的性质可得出∠AEB＝∠DEC，结合∠AEB+∠BED＝90°，即可求出∠BEC＝90°，可判断③；由全等三角形的性质易证△BCE为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理又可求出，从而得出，设AB＝x，则AC＝2x，，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，
∴．
由题意可知△ADE为等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠BAE＝90°+45°＝135°，∠CDE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BAE＝∠CDE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①正确；
∵△ABE≌△DCE，
∴∠ABE＝∠DCE．
∵∠CED+∠DCE＝∠ADE＝45°，
∴∠CED+∠ABE＝45°，故②正确；
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB＝∠DEC．
∵∠AEB+∠BED＝90°，
∴∠DEC+∠BED＝90°，即∠BEC＝90°，
∴BE⊥EC，故③正确；
∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴．
在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2，
又∵AC＝2AB，
∴BC2＝5AB2，即，
∴，即
设AB＝x，则AC＝2x，，
∴，，
∴5S△ABC＝4S△EBC，故④错误．
综上可知正确的有①②③．
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【思路点拔】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣3+1+9＝12；
（2），
解不等式①，得：x≥2，
解不等式②，得：x＜4，
∴该不等式组的解集为2≤x＜4．
18．（6分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【思路点拔】（1）根据垂直得到的直角三角形，利用勾股定理，得到结果；
（2）根据勾股定理得到的关系式，得到BC2+AD2＝136；
（3）根据（1）（2）可得到：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，
∴△ABO是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，
同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，
∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，
∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）由（1）得：
BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2）
＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2）
＝AB2+CD2，
即：BC2+AD2＝AB2+CD2，
∵AB＝6，CD＝10，
∴BC2+AD2＝62+102＝136；
（3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
19．（6分）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）图①中，点D是BC的中点，在AB边上确定一点E，连结DE，使∠BDE＝∠BCA．
（2）图②中，在AB边上确定一点F，连结CF，使．
（3）图③中，在AB边上确定一点M，连结CM，使∠BCM＝∠BAC．
【思路点拔】（1）如图①，取格点N，连接DN，交AB于点E，即点E为所求点；
（2）如图②，取格点H，连接CH，交AB于F，即点F为所求点；
（3）如图③，取格点H，P，Q，连接CH，PQ，PQ与AB于点M，即点M为所求点．
【解答】解：（1）如图①，取格点N，连接DN，交AB于点E，即点E为所求点；
（2）如图②，取格点H，连接CH，交AB于F，即点F为所求点；
（3）如图③，取格点H，P，Q，连接CH，PQ，PQ与AB于点M，即点M为所求点．
20．（8分）如图，AD＝DE＝EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是72平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？
【思路点拔】根据AD＝DE＝EC，F是BC中点，G是FC中点，分别计算出△ABD、△EFD、△EGC的面积，即可解答．
【解答】解：∵AD＝DE＝EC，
∴△ABD的面积为：7224（平方厘米），
△BCD的面积为：72﹣24＝48（平方厘米），∵BF＝CF，
∴△CDF的面积为：48÷2＝24（平方厘米），
∵DE＝CE，
∴△EFD的面积为：24÷2＝12（平方厘米），
∵CG＝FG，
∴△EGC的面积为：12÷2＝6（平方厘米），
阴影部分的面积为：△ABD+△EFD+△EGC
＝24+12+6，
＝42（平方厘米），
答：图中阴影部分的面积为42平方厘米．
21．（8分）
背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】 打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！ 日前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务． 近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）； ①若使用无人机配送商品，共需要 （4750﹣30a） 元； ②若不使用无人机配送商品，共需要 （4800﹣32a） 元． （结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
【思路点拔】任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务2：根据购买两款商品的总数量及购买A商品的数量，可得出购买（30﹣a）件B商品，再利用总价＝单价×数量，结合两种促销方案，即可用含a的代数式表示出使用无人机配送商品及不使用无人机配送商品，所需费用；
任务3：根据使用无人机配送商品更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合0＜a＜30，即可得出结论．
【解答】解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件，
∴B商品购买（30﹣a）件．
①若使用无人机配送商品，共需要250+160×0.75a+200×0.75（30﹣a）＝（4750﹣30a）元；
②若不使用无人机配送商品，共需要160×0.8a+200×0.8（30﹣a）＝（4800﹣32a）元．
故答案为：①（4750﹣30a）；②（4800﹣32a）；
任务3：根据题意得：4750﹣30a＜4800﹣32a，
解得：a＜25，
又∵0＜a＜30，
∴0＜a＜25．
答：当0＜a＜25时，使用无人机配送商品更合算．
22．（10分）探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示，AC+CE＝ ；
（2）请问点A、C、E满足 A、C、E三点共线时 时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
【思路点拔】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）AC+CE；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
故答案为：A、C、E三点共线；
（3）如图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE13，
即的最小值为13．
故代数式的最小值为13．
23．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【思路点拔】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 90 °．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
【思路点拔】（1）先用等式的性质得出∠CAE＝∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B＝∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；
（2）①由（1）的结论即可得出α+β＝180°；
②同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE＝∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B＝∠ACE；
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝∠BCA+∠B＝180°﹣∠BAC＝90°；
故答案为90°；
（2）①由（1）中可知β＝180°﹣α，
∴α、β存在的数量关系为α+β＝180°；
②当点D在射线BC上时，如图1，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD＝∠ACE，
∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∴α+β＝180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD＝∠ACE，
∴β＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ACB＝∠BAC＝α，
∴α＝β．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024年八年级上册初中数学期中考试试卷
考试范围：第1-3章 考试时间：100分钟
学校:___________ 姓名：__________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2°
C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3°
3．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠E＝45°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（ ）°．
A．70 B．80 C．90 D．100
6．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．0＜a≤1 D．0≤a＜1
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）
A．8 B．3 C．6 D．4
9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ）
A．31 B．51 C．53 D．63
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是 ．
12．（4分）用三个不等式中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多2，若AB＝6，则AC的长为 ．
14．（4分）某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润率不低于20%，那么商店最多打 折出售此商品．
15．（4分）如图，∠AOB内有一点P，∠AOB＝35°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点．当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ．
16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有 ．
①△ABE≌△DCE；②∠ABE+∠CED＝45°；③BE⊥EC；④S△ABC＝S△EBC．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（6分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
19．（6分）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）图①中，点D是BC的中点，在AB边上确定一点E，连结DE，使∠BDE＝∠BCA．
（2）图②中，在AB边上确定一点F，连结CF，使．
（3）图③中，在AB边上确定一点M，连结CM，使∠BCM＝∠BAC．
20．（8分）如图，AD＝DE＝EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是72平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？
21．（8分）
背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】 打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！ 日前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务． 近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）； ①若使用无人机配送商品，共需要 元； ②若不使用无人机配送商品，共需要 元． （结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
22．（10分）探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示，AC+CE＝ ；
（2）请问点A、C、E满足 时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
23．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
