合肥一中 2024—2025 学年第一学期高三年级教学质量检测
数学学科试卷
时长：120 分钟 分值：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6. C 7.B 8.A
6. C 设这个15次方根为 ，则 x15 a 1010 ，其中 x N中且1 a 10，故15 lg x lg a 10，
lg x lg a 10 lg a [0,1) lg x [2 , 11 ， ，故 )，故 x 5
15 3 15
7. B 因为函数 f x x ln x, g(x) ex x2 a
f ' x ln x 1 0， f x 在区间 上是单调增函数，所以 f x [0, ln 4]，
又 g ' (x) e x 2x ， g ''(x) ex 2 0， g '(x)在区间 上是单调增函数，
2
g '(x) g '(1) e 2 0所以 g x [e 1 a,e 4 a] ，
由于 使得 ，所以
当 时， e 1 a ln 4或e2 4 a 0 ，
解得 a ln 4 1 e或a 4 e2 ．
所以{y | y f (x)} {y | y g (x)} 时，得a [4 e2 , ln 4 1 e]．
8. A 由 ，得 ，
记 ，其中 ，
原不等式化为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，所以 的最小值为 1．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9.BC 10.ABC 11.BCD
1 π
10. ABC 由图象可知K 2， S ABC BC K BC ，2 2
1 T π即 ，所以T
2π
π，故 A选项正确；
2 2
即 2，所以 f x 2sin 2x ，且图象过点D 0, 1 ，即 sin 1 ，
2
π π π
又
，所以 ，所以 f x 2sin 2x
π
，
2 2 6 6
2x π kπ+ x π kπ令 ， k Z，解得 ， k Z，
6 2 3 2
f x 2sin 2x π π kπ所以函数 的对称轴为 x ， k Z
6 3 2
当 k 5π 1时，对称轴为 x ，故 B选项正确；
6
将 y 2cos 2x π的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到
3
y 2cos 2x 2π 2cos 2x π π
2sin(2x )，故 C选项正确；
3 6 2 6
函数 f x 与 g x cos x 在 0, 上有 3个交点，故 D选项错误，
故选：ABC.
11.BCD 对 A，因为 f (1 x) f (3 x) x 1，
所以 f (2 x) f (2 x) x 1，则 x f (2 x) 1 x f (2 x)，
2 2
1
所以函数 y x f (x 2)是偶函数，故 A错误；
2
对 B，因为 f (2x 1)为奇函数，所以 f (x 1) f ( x 1)， f (1 x) f (3 x) x 1，
所以 f (1 x) f (3 x) x 1
得 f '(1 x) f '(3 x) 1，即 g (1 x) g (3 x) 1，
令 x 1， g (0) g (2) 1
因为 f (1 x) f (3 x) 1，即 g(1 x) g(3 x) 1，
令 x 1，得 2g(2) 1，
所以 g(0) 1 ，故 B正确；
2
对 C，因为 f (x 1) f ( x 1)，所以 f (3 x) f ( 1 x)，
f (1 x) f ( 1 x) x 1 f (x 2) f (x) x
所以
f (1) f (3) 1, f (2) f (4) 2,
f (5) f (7) 5, f (6) f (8) 6,
...
f (17) f (19) 17, f (18) f (20) 18,
f (21) f (23) 21, f (22) f (24) 22
24
f (i) 1 2 5 L 21 22 138，故 C正确；
i 1
对 D，因为 g (1 x) g (3 x) 1，所以 g(x) g(x 2) 1
g(1) g(3) 1,
g(2) g(4) 1,
...
g(21) g(23) 1,
g(22) g(24) 1
24
所以 g(i) 1 12 12，故 D正确.
i 1
故选：BCD.
三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 f x m2 m 5 xm 1．已知幂函数 在 0, + ∞ 上单调递减，则m .
【详解】-3
13．已知0 ，且 sin cos 0,sin sin 6cos cos ，则
2
tan ．
【详解】由题意得 sin cos ，则 tan 1，
又因为 sin sin 6cos cos ，所以 tan tan 6， tan , tan 同号，
tan tan tan tan tan 又因为 11 tan tan 1 6 ，
则 tan tan 5， tan , tan 同正，
π
所以0 ，则 tan tan ，
2
所以 tan tan tan tan 2 4 tan tan 52 4 6 1，
所以 tan tan tan tan tan tan tan 1
1 tan tan 1 6 7 7
14．设函数 f x cosx cos2x，下列说法正确的有 ．
①函数 f x 的一个周期为 2 π；
2
②函数 f x 的值域是 , 2 ；
2
③函数 f x 的图象上存在点 P x, y ，使得其到点 1,0 2的距离为 ；
2
x π π④ 当 , 时，函数 f x 的图象与直线 y 2有且仅有一个公共点. 4 4
【详解】对于①， x R
f π x cos 2π x cos 4π 2x cos x cos 2x f x ，
故 2 π是函数 f x 的一个周期，①正确；
对于②， f x cos x cos2x cos x 2cos2 x 1，
2cos2 x 1 0 cos2
1
需满足 ，即 x , cos x 1,
2 2
,1 ，2 2 2
令 t cos x t
2 2
， 1, ,1 ，则 f x 即为 y t 2t 2 ，
2 2
1
t 2
当 ,1
2 2
2
时， y t 2t 2 1在 ,1 上单调递增，则 y , 2 ；
2 2
2
t 2 1, y 1 4t 1 2t 2t 1 4t
2
当 时， 0，
2 2 2t2 1 2t2 1 2t2 1
（ (2t2 1) 4t2 2t2 1 0，故 2t 2 1 4t 2 0）
2 2
此时 y t 2t 2 1在 1, 2
上单调递减，则 y ,0 ，
2
2 2
综上， f x 的值域是 , 02 , 2 ，②错误； 2
2 2
对于③，由②知， cos x 1, 2
,1 ，
2
cos x 2
3π 5π
当 1, x
时， 2kπ, 2kπ
, k Z ,
2 4 4
满足此条件下的 f x 图象上的点 P(x, y)到 (1,0)的距离
(x 1)2 ( f (x) 0)2 | x 1| 3π 1 2 ；
4 2
当 cos x
2
,1 时， f x
2
, 2
2 2
,
满足此条件下的 f x 图象上的点 P(x, y)到 (1,0)的距离
(x 1)2 ( f (x) 0)2 2 | f (x) 0 | ，
2
当且仅当 f x 2 且 x 1时等号成立，
2
f x 2 cos x 2 π
π
而 时， , x 2kπ,k Z或 x 2kπ,k Z，
2 2 4 4
满足此条件的 x与 x 1矛盾，即等号取不到，
故函数 f x 的图象上不存在点 , 2，使得其到点 1,0 的距离为 ，③错误；
2
对于④，由②的分析可知 f (x) 2，则 cosx 1，即 x 2kπ,k Z，
x π π又
, ，故当且仅当 x 0时， f (x) 2， 4 4
x π即当 ,
π
时，函数 f x 的图象与直线 y 2有且仅有一个公共点，④正确．
4 4
故正确的有：①④
四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
a
15．已知命题 p：“ x R， x2 ax 1 0”为假命题，命题 q：“ f (x) 2x 在 0，1 上为
x
增函数”为真命题，设实数 a的所有取值构成的集合为 A.
(1)求集合 RA；
(2)设集合 B x 3m 1 x 2m 1 ，若 x RA是 x B的必要不充分条件，求实数 m
的取值范围．
【详解】（1）因为命题 P为假命题，所以关于 x的一元二次方程 x2 ax 1 0无解，
即 a 2 4 a2 4 0，解得 2 a 2．
a
因为命题 q为真命题，故 f '(x) 2 2 0在 0，1 恒成立， a 0x
2 a 0
故集合 A a 2 a 0 ，
所以 RA a a 2或 a 0 ；
（2）由 x RA是 x B的必要不充分条件，则 B RA，
当 B 时，3m 1 2m 1，解得m 0，此时满足 B A，
当 B 时，
3m 1 2m 1 3m 1 2m 1
则 或 ，
2m 1 2 3m 1 0
3 1
解得m 或- m 0，
2 3
3 1
综上所述，m的取值范围是 m m 或m .
2 3
16．已知函数 f (x) x3 3x2 ax 1.
(1)若 f (x)的图象在点 (x0 , f (x0 ))处的切线经过点 (0, 1)，求 x0；
(2)若 x1, x2是 f (x)的两个不同极值点，且 f x1 f x2 2，求实数 a的取值范围.
【详解】（1）函数 f (x) x3 3x2 ax 1，求导得 f (x) 3x 2 6x a ，
于是函数 f (x)的图象在点 (x0 , f (x0 ))处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )，
2 3 2
即 y (3x0 6x0 a )(x x0 ) x0 3x0 ax0 1，而切线过点 (0, 1)，
因此 2x3
3
0 3x
2
0 0，解得 x0 0或 x0 ，2
（2）由（1）知，方程 f (x) 0，即3x2 6x a 0有两个不等实根 x1, x2，则 36 12a 0，
解得 a 3，
x1 x2 2
a f (x ) f (x ) (x3 3x2且 ，于是 1 2 1 1 ax1 1) (x
3
2 3x
2
2 ax2 1)
x 1
x2 3
(x x )(x 2 2 21 2 1 x1x2 x2 ) 3(x1 x
2
2 ) a (x1 x2 ) 2
(x2 21 x2 ) 2x1x2 2a 2 (x1 x
2
2 ) 2a 2 2a 6，
由 f x1 f x2 2，得 2a 6 2，解得a 2，因此 2 a 3，
所以实数 a的取值范围是 (2,3) .
17．已知定义域为 A= x x 0 的函数 f x 满足对任意 x1, x2 A，都有
f x1x2 x1 f x2 x2 f x1
(1)求证： f x 是奇函数；
(2)当 x 1时，f x 0．若关于 x的不等 ax 1 f (2lnx 1) (2lnx 1) f (ax 1（) a 0）在
2，3 上恒成立，求 a的取值范围．
f x x x 0
【详解】（1）证明：因为 的定义域为 A= ，关于原点对称，
x1, x2 A f x1x2 x1 f x2 x2 f x 又对任意 ，都有 1 ，
令 x1 x2 1，得 1 = 0，
f 1 1x x 1 f 1 0
令 1 2 ，得 2 ，
x1 x, x 1令 2 ，
f x f x xf 1 f x
得 ，
∴ ( )是奇函数.
2 f x1x2 x1 f x2 x2 f x1 （ ） ，
f x
1
x2 f x 1 f x2 f g(x) x x x 设 1 2 x1 x2 ， x
g x1x2 g x1 g x2 ，
x 1 1 g
x
x x 0
1 0
x
设 1 2 ，则 x2 ，所以 2 ，
x1 x1 g x1 g x2 g x2 g g x2 .
x2 x2
g x
在 0, + ∞ 上是减函数，
g x ,0 0,
因为 的定义域为 ，
f x f x fg x x g x
又 x x x ，
g x
所以 是偶函数，
因为 ax 1 f (2lnx 1) (2lnx 1) f (ax 1（) a 0），而 x 2，3
则 ax 1 2ln x 1，即 ax 1 2 ln x 1在 x 2，3 恒成立，
a 2ln x 2故 a 0 在 x 2，3 恒成立，
x
h(x) 2ln x 2 h'(x) 4 2ln x 4 2ln x设 ，则 2 ，易知 h'(x) 2 在 2，3 恒大于0x x x
a 2ln x 2 2ln3 2 即 a 2ln3 2的取值范围是
x 3 ， max 3
18．记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinC sin A B sin B sin C A ．
(1)求 A的取值范围；
(2)若 a 2，求△ABC周长的最大值；
(3)若b 2， A 2B，求△ABC的面积．
【详解】（1）因为 sinC sin A B sin B sin C A ，
由正弦定理得 sinC sin Acos B cos Asin B sin B sinC cos A cosC sin A ，
整理得 sin A sinC cosB sin BcosC 2sin BsinC cos A，
可得 sin Asin B C 2sin BsinC cos A，
所以 sin2 A 2sin BsinC cos A，
a2
由正弦定理得 a2 2bccos A，即 cos A ．
2bc
b2 2 2
又因为 cos A c a ，所以b2 c2 a 2 a 2，即b2 c2 2a2，
2bc
而 2a2 b2 c2 2bc，当且仅当b c时，等号成立，
2
则 cos A 1 2a 1 ，又因为 A 0, ，故 A的取值范围是 0， ．2 2bc 2 3
（2）结合（1）可知b2 c2 2a2 8，
又因为b2 c2 b c 2 2bc b c 2 2a2，则b c 4，当且仅当b c 2时，等号成立，
故△ABC周长的最大值为 6．
（3）由 sinC sin A B sin B sin C A 及 A 2B得， sinC sin B sin Bsin C A ，
因为 B 0, π ，则 sin B 0，可得 sinC sin C A ，
又因为 A,C 0, π ，则C A π, π ，
π A
显然C C A，所以C C A π，即C ，
2
又因为 A 2B且 A B C π，
π π 5π
解得 A ， B ，C 8 ，4 8
sin π π
b 2 c b c bsinC
2
因为 ，由正弦定理 ，可得
sinC sin B
2 8 ，
sin B sin π tan π
8 8
2 tan π
又因为由正切二倍角公式有 tan
π
8 1，
4 1 tan 2 π
8
整理得 tan2
π
2 tan π 1 0，解得 tan
π
2 1或 tan
π
2 1（舍去），
8 8 8 8
c 2所以 2 2 2，
2 1
S 1故 △ABC bc sin A
1 2
2 2 2 1 2 2．2 2 2
19．已知函数 f (x) ln x ax sin x，其中 x 0， ．
（1）当 a=0时，求曲线 y f (x)在点 ，f ( ) 处的切线方程；
2 2
（2）判断函数 y f (x)是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，
请说明理由；
（3）讨论函数 y f (x)在 ， 上的零点个数． 2
【详解】（1）当 a 0时， f x ln x sin x，则 f x 1 cos x，
x
所以， f 1 ln
， f
2
，
2 2 2
y f x , f 2 所以，曲线 在点 处的切线方程为 y 1 ln
x
，即
2 2 2 2
y 2 x ln ；
2
f x 1（2） a cos x 1，设 g x a cos x，
x x
则 g x 1 2 sin x 0对任意的 x 0, 恒成立，故 f x 在 0, 上单调递减.x
1
所以， f x f a 1 f x min ，当 x 0时， .
①若 f 1 a 1 0，即 a 1 1 时，
由零点存在定理可知，存在 x0 0, ，使得 f x0 0，
当 x 0, x0 时， f x 0，此时函数 f x 单调递增，
当 x x0 , 时， f x 0，此时函数 f x 单调递减.
所以， f x 在 x x0处取得极大值，不存在极小值；
f 0 a 1 1②若 ，则 ， f x 0对任意的 x 0, 恒成立，
此时，函数 f x 在 0, 上单调递增，此时函数 f x 无极值.
综上所述，当 a 1
1
时，函数 f x 有极大值，无极小值；
a 1 1当 时，函数 f x 无极值；
（3）分以下情况讨论：
①若 a 1
1
，函数 f x 在
, 上单调递增， 2
则 f x f ln a 1 ln
1 1
1 1 ln 0
min ， 2 2 2 2 2 2 2 2
此时，函数 f x 在 ,
2
上无零点；
②若 a 1
1
，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在 x0 0, ，使得
f x0
1
a cos x 0
x 0 ，且函数
f x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减.
0
1 1 1
从而有 a cos xx 0，设
h x cos x，则 h x 2 sin x 0对任意的 x 0, 恒成
0 x x
立，从而当 x0增大时， a也增大.
（i）若 x0 0,
，此时 a ,
2 ，此时函数 f x 在 2
, 上单调递减， 2
若 f f 0 a
2
，可得 1 ln
或 a
ln
（舍去）.
2 2
此时函数 f x 在 ,
上无零点； 2
2 ln
若 f f 0，可得 1 ln a ，
2 2
f x , 此时函数 在 上有且只有一个零点. 2
a 2 ln 1 f 0 f 0 f x , 当 时， ， ，此时函数 在 2 2 上只有一个零点； 2
ii x
2 1
（ ）当 0 , 时，此时 a ,1 ，此时函数 f x 在 , x
0 上单调递增，在 x0 ,
2 2
上单调递减.
f ln
a
1 0， f ln a ，
2 2 2
所以， f x f x0 ln x0 ax0 sin x0 ln x0 sin xmax 0 x0 cos x0 1，
设m x ln x sin x xcos x 1 ，则m x 1 x sin x 0 对任意的 x ,
恒成立，x 2
所以，函数m x , 在 上单调递增，所以， f x0 m ln 0， 2 2 2
f 0 a ln ln 1 若 ，即 a 1 ，即 ，此时函数 f x 在 , 2 上无零点；
f 0 a ln 2 ln 若 ，即 ，即 a 时，此时函数 f x 在 ,
上有且只有一个
2
零点.
a , 2 1 ln ln 综上所述，当 2
, 时，函数 f x 在 , 上无零点；
2
a 2 1 ln , ln 当
时，函数 f x 在 , 上有且只有一个零点.
2 2 合肥一中 2024—2025 学年第一学期高三年级教学质量检测
数学学科试卷
时长：120 分钟 分值：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．已知集合 A x∣y log3 x 2 1 ，集合 B y∣y 3 x ，则 A B （ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 1, D． 2,
2．若 sin (sin cos ) 2 ，则 tan （ ）
5
1 1
A． 2或 B． 2或 C．2 D．-2
3 3
x
3．已知函数 f x a e cosx ，则“ a 1 ”是“函数 f x 的是奇函数”的（ ）
1 ae x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ax2 e x , x 0
4．函数 f (x) 3 在R上单调，则 a的取值范围是（ ）
x ax
2 a,x 0
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 0,1
5．在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ABC的外接圆半径为 1，
1 2 sin A sin 2C
且 a2 c2 b2 2ac， ，则 ABC的面积是（ ）1 2 cos A 1 cos2C
A 2． B 3． C．1 D．2
2 2
6 10．已知一个正整数 N a 10 1 a 10 ，且 N 的 15次方根仍是一个整数，则这个 15
次方根为（ ）（参考数据： lg 2 0.3， lg3 0.48， lg 5 0.7）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知函数 f x x ln x, g x ex x2 a，若 x1, x2 1,2 ，使得 f x1 g x2 ，则
实数 a的取值范围是（ ）
A 4 e2． , ln 4 1 e B 2． 4 e , ln 4 1 e
C ln 4 4 e2． ,1 e D 2． ln 4 4 e ,1 e
高三数学 第 1 页 共 4 页
8．已知正数 x, y满足 9x2 1 9y2 1 9xy，则 4x2 y2的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 2． 已 知 关 于 x 的 不 等 式 m a x m 2b x 1 0(a 0,b 0) 的 解 集 为
, 1 1 ,
，则下列结论正确的是（ ）
2
A． 2a b 1 B． a 2 b 的最大值为 3
4 4
C 1． 的最小值为 D． 2 2的最小值为
a 1 b 1 3 2 2 a b 4
π π
10．如图是函数 f x K sin x （ K 0， 0， ）
2 2
的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与 y轴的交点，B，C
π
是图象与 x轴的交点，且D 0, 1 ，VABC的面积等于 ，则下列说法
2
正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期为 π
f x x 5 B．函数 的图象关于直线 对称
6
π
C．函数 f x 的图象可由 y 2cos 2x 的图象向右平移 个单位长度得到
3
D．函数 f x 与 g x cos x 在 0, 上有 2个交点
11．已知函数 f (x)及其导函数 f (x)的定义域均为 R ，若 f (1 x) f 3 x x 1，且
f (2x 1)是奇函数，令 g(x) f (x)，则下列说法正确的是（ ）
A 1
1
．函数 y x f (x 2)是奇函数 B． g(0)
2 2
24 24
C． f (i) 138 D． g(i) 12
i 1 i 1
三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 2 m 1．已知幂函数 f x m m 5 x 在 0, + ∞ 上单调递减，则m ．
13．已知0 ，且 sin cos 0,sin sin 6cos cos ，则
2
tan ．
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14．设函数 f x cosx cos2x，下列说法正确的有 ．
①函数 f x 的一个周期为 2 π；
②函数 f x 2的值域是 , 2 ；
2
③ 2函数 f x 的图象上存在点 P x, y ，使得其到点 1,0 的距离为 ；
2
π π
④当 x ,
时，函数 f x 的图象与直线 y 2有且仅有一个公共点. 4 4
四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
a
15．（本题 13分）已知命题 p：“ x R，x2 ax 1 0”为假命题，命题 q：“ f (x) 2x 在
x
0，1 上为增函数”为真命题，设实数 a的所有取值构成的集合为 A.
(1)求集合 RA；
(2)设集合 B x 3m 1 x 2m 1 ，若 x RA是 x B的必要不充分条件，求实数 m
的取值范围．
16．（本题 15分）已知函数 f (x) x3 3x2 ax 1.
(1)若 f (x)的图象在点 (x0 , f (x0 ))处的切线经过点 (0, 1)，求 x0；
(2)若 x1, x2是 f (x)的两个不同极值点，且 f x1 f x2 2，求实数 a的取值范围.
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17．（本题 15分）已知定义域为 A= x x 0 的函数 f x 满足对任意 x1, x2 A，都有
f x1x2 x1 f x2 x2 f x1
(1)求证： f x 是奇函数；
(2)当 x 1时，f x 0．若关于 x的不等 ax 1 f (2lnx 1) (2lnx 1) f (ax 1（) a 0）在
2，3 上恒成立，求 a的取值范围．
18．（本题 17分）记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
sinC sin A B sin B sin C A ．
(1)求 A取值的范围；
(2)若 a 2，求△ABC周长的最大值；
(3)若b 2， A 2B，求△ABC的面积．
19．（本题 17分）已知函数 f (x) ln x ax sin x，其中 x 0， ．
（1）当 a=0时，求曲线 y f (x)在点 ，f ( ) 处的切线方程；
2 2
（2）判断函数 y f (x)是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，
请说明理由；
（3）讨论函数 y f (x)
在 ， 上的零点个数． 2
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