2024年四川省绵阳市中考数学真题（含答案）

2024年四川省绵阳市中考数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．下列实数中满足不等式x＞3的是（　　）
A．（﹣2）3 B．π C． D．
2．蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，如图，蝴蝶图案关于y轴对称1，若点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M1的坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥0
4．如图是某几何体的展开图，则此几何体是（　　）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
5．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，则扇形的圆心角大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
7．如图，在△ABC中，AB＝5，DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE，点G为EF的中点，当△AGH的周长最小时（　　）
A． B． C．12 D．13
10．如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律（　　）
A．36 B．96 C．226 D．426
12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，CD⊥DE，则BF＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．因式分解：2x2+8x+8＝ 　 　．
14．中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨　 　．
15．已知单项式3a2b与﹣2a2bn﹣1是同类项，则n＝ 　 　．
16．如图，直线a∥b，点O在b上，交a于不同两点A，B．若θ＝44°　 　°．
17．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元　 　，
18．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上运动，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处（靠近点A）时，且，，则cos∠ABF＝ 　 　．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）
甲 7 9 7 9 10 6
乙 5 8 9 10 10 6
（1）根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是 　 　环，乙的平均成绩是 　 　环；甲成绩的中位数是 　 　环，乙成绩的众数是 　 　环．
（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
21．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在线段AO上（与端点不重合），线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，FH⊥AC，垂足为H．
（1）求证：△OBE≌△HEF；
（2）设OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．
23．如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），点C在反比例函数
（1）求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；
（2）将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F
24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，直径BF交CD于点G，连接AF，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求为值；
（3）求sin∠CAD的值．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），连接AC和BC，点P在抛物线上运动，BP和CP．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，求出点Q的坐标；若不存在
2024年四川省绵阳市中考数学试题
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B
8．D 9．B 10．D 11．C 12．D
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．8（x+2）2 14．8.55×106 15．2 16．92 17．10% 18．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．解：（1）
＝4++2|8﹣
＝3++2（6﹣
＝6++2﹣
＝0；
（2）
＝
＝，
当时，原式＝＝＝．
20．解：（1）甲的平均成绩是（7×2+9×8+10+6）＝8（环），
乙的平均成绩是（5+6+9+10×2+7）＝8（环），
甲成绩的中位数是＝8（环），
乙成绩的众数是10环．
故答案为：6，8，8，10；
（2）＝[（6﹣8）2×6+（9﹣8）6×2+（10﹣8）4+（6﹣8）5]＝2；
＝[（5﹣4）2+（8﹣8）2+（9﹣3）2+2×（10﹣5）2+（6﹣2）2]＝；
（3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，所以推荐甲参加全省比赛更合适．
21．解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：﹣＝2，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，
∴2.2x＝1.6×25＝30，
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，
由题意得：，
解得：45≤m≤50，
∵m为正整数，
∴m＝45，46，48，50，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：y＝25×0.7m+30×0.8（120﹣m）＝﹣3m+2880，
∵﹣4＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝50时，y有最小值＝﹣3×50+2880＝2680，
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∵FH⊥AC，
∴∠EHF＝90°＝∠BOE，
∴∠BEO+∠OBE＝90°，
由旋转得：BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠BEO+∠FEH＝90°，
∴∠OBE＝∠FEH，
在△OBE和△HEF中，
，
∴△OBE≌△HEF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝，
∵△OBE≌△HEF，
∴OE＝FH＝x，EH＝OB＝，
∴FH＝CH＝x，
∴CF＝FH＝x，
∴OE3﹣CF＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，
∵点E在线段AO上（与端点不重合），
∴0＜x＜，
∴当x＝时，OE8﹣CF的最小值是﹣．
23．解：（1）过点D作DH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，DE＝EB，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，DH＝，
∵B（﹣1，7），
∴OB＝1，
∴OH＝OB+BH＝3，
∴D（﹣3，2），C（8，2），
∵DE＝EB，
∴E（﹣5，），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）对于反比例函数y＝，
当y＝时，x＝2，
∴当点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点E′（2，），
∴菱形向右平移了4个单位，
∴B，C的对应点B′（3，C′（7，2），
∴直线B′C′的解析式为y＝x﹣3，
由，
解得x＝或x＝，
∵x＞3，
∴点F的坐标为（，），
∴点F到x轴的距离为．
24．（1）证明：∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB＝∠BGD，
∵＝，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴∠ADC＝∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形；
（2）解：设BE＝x，
∵AB＝AC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴BC6﹣BE2＝AC2﹣AE4＝CE2，
∵BC＝2，
∴（2）8﹣x2＝58﹣（5﹣x）2，
解得x＝4，
∴BE＝2，AE＝3，
∴，
由（1）知，∠ADC＝∠BGD，
∵∠AED＝∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△BCE中，CE＝＝，
∵＝，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴，
∴AD＝，DE＝，
∴CD＝CE+DE＝4+，
∵S△ACD＝＝AC DH，
∴×3＝2DH，
∴DH＝，
在Rt△ADH中，sin＝，
∴sin∠CAD＝．
25．解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x8+2x﹣3）＝ax5+2ax﹣3a＝ax6+bx+3，
则﹣3a＝5，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝﹣8时，y＝4，4）；
（3）由抛物线的表达式知，点C（8，
设点P（m，﹣m2﹣2m+7），则点P1（m，m2+7m﹣3），
由点A、C的坐标得，则点E（m，
同理由点B、P的坐标得，
连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，m+6），
则S1＝P1E×OA＝3×（m+3﹣m3﹣2m+3）＝（﹣m2﹣m+7），
同理可得：S2＝CD×（xB﹣xP）＝（4﹣m﹣3）×（1﹣m）＝S1＝（﹣m2﹣m+6），
解得：m＝（舍去）或﹣，
即点P（﹣，8）；
则△ABP的面积＝AB×yP＝（2+3）×2；
（3）存在，理由：
由（2）知，P（﹣，3）；
由点C、P的坐标得﹣；
当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，
由点C、P的坐标得，
过点Q作QH⊥PC于点H，
设QH＝（2﹣）x，
则PC＝3﹣＝（2﹣，
解得：x＝，
则CH＝x＝，QH＝），
则CQ＝＝3，
则OQ＝3+6﹣2＝3，
即点Q（0，5+1）；
当点Q（Q′）在点C下方时，
同理可得：CQ′＝7﹣2，
则点Q′（6，2﹣8）；
综上所述，Q（0，2，2﹣3）．
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