2024-2025学年福建省福州外国语学校高二（上）质检
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
5.从编号为、、、的球中，任取个球则这个球的编号之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
6.正四面体的棱长为，点是的重心，则的值为( )
A. B. C. D.
7.空间直角坐标系中，，，，点在平面内，且平面，则( )
A. B. C. D.
8.在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 众数为 C. 方差为 D. 第百分位数为
10.已知，，则( )
A. ，夹角为锐角
B. 与相互垂直
C.
D. 以，为邻边的平行四边形的面积为
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点包含端点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使
B. 存在点，使
C. 四面体的体积为定值
D. 二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为虚数单位，则 ______．
13.已知，，则在方向上的投影向量为______．
14.如图正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中任取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
16.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：；
求与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，，且．
求外接圆的半径；
若，求的面积．
18.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在直线的方程；
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题：
求与平面所成角的大小；
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.解：第六组的频率为，
第七组的频率为：
．
身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
，
估计这所学校的名男生的身高的中位数为，
则，
由，
解得，
可估计这所学校的名男生的身高的中位数为．
第六组的人数为人，设为，，，，
第八组的人数为人，设为，，
则有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
事件包含的基本事件为，，，，，，，共种情况，
故．
16.解：证明：底面，面，
，
取中点，连接，
，，
，又，
，，
为直角三角形，且为斜边，
，
又，面，面，
面，
又面，
；
由知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成的角的正弦值为．
17.解：，
，
由正弦定理可得，，，
整理可得，，
由余弦定理可得，，
，，
由正弦定理可得，即外接圆半径；
由，，可得，，解得，
．
18.解：由，．
所以，
所以边上的高所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的方程，
即．
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
当直线与平行，
因为，且过点，
所以方程为，即．
当直线通过的中点，
所以，
所以的方程为，即．
综上：直线的方程为或．
19.解：因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，
又平面平面，两平面交线为，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，
因为，平面，所以，，
故，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，由勾股定理得，
所以，，，，
平面的法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则，，
因为，所以，
所以与平面所成角的大小为；
设平面的法向量为，
则，令，得，，则
连接，
因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，
设，则，
即，，，故E，
设，则，
即，故，
设平面的法向量为，
则，
解得，设，则，故，
所以，，
化减得，
两边平方得，化简得，
解得或
设，则，设，
则，解得，，
故，
当：因为，
所以，解得，
解得满足要求，
当，，因为，所以，
解得，解得，满足要求．
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或．
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