2024-2025学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 10:47:52 | ||
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文档简介
2024-2025学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
2.设，，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知直线恒过定点，点在直线上，其中、均为正数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
7.已知点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，为内的一点，，则下列说法错误的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若，则向量，的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体若图中每个正方体的棱长为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点到直线的距离是
C. D. 异面直线与所成角的正切值为
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则平面
C. 若，则平面
D. 若，时，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______．
13.已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
14.已知球是棱长为的正八面体八个面都是全等的等边三角形的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点．
试用，，表示以下列向量：；
，，求证：平面．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，分别是，，的中点，
所以，，
所以；
证明：设，则，
因为，，，
所以
，
所以，则，
同理可得，
又，平面，平面，
所以平面．
16.证明：直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
即，
又平面，
所以平面；
解：因为，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则，
异面直线与所成角的余弦值为；
连接，则，可得平面，
直线到平面的距离等于到平面的距离，又，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
又，
直线到平面的距离为．
18.解：因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，
即，因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
由知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，
故直线与平面所成角即为．
因为，所以，
所以，又因为为的中点，所以，
所以，所以．
19.Ⅰ证明：四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，
平面，平面．
由题意，以为原点，所在直线为轴，
过作平行于直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又，，；
又平面，平面；
解：Ⅱ，，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则平面的一个法向量为，
由Ⅰ知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值是；
Ⅲ设，；，
，又平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
，
化简得，解得或；
当时，，；
当时，，；
综上，．
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数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
2.设，，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知直线恒过定点，点在直线上，其中、均为正数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
7.已知点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，为内的一点，，则下列说法错误的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若，则向量，的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体若图中每个正方体的棱长为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点到直线的距离是
C. D. 异面直线与所成角的正切值为
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则平面
C. 若，则平面
D. 若，时，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______．
13.已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
14.已知球是棱长为的正八面体八个面都是全等的等边三角形的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点．
试用，，表示以下列向量：；
，，求证：平面．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，分别是，，的中点，
所以，，
所以；
证明：设，则，
因为，，，
所以
，
所以，则，
同理可得，
又，平面，平面，
所以平面．
16.证明：直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
即，
又平面，
所以平面；
解：因为，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则，
异面直线与所成角的余弦值为；
连接，则，可得平面，
直线到平面的距离等于到平面的距离，又，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
又，
直线到平面的距离为．
18.解：因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，
即，因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
由知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，
故直线与平面所成角即为．
因为，所以，
所以，又因为为的中点，所以，
所以，所以．
19.Ⅰ证明：四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，
平面，平面．
由题意，以为原点，所在直线为轴，
过作平行于直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又，，；
又平面，平面；
解：Ⅱ，，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则平面的一个法向量为，
由Ⅰ知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值是；
Ⅲ设，；，
，又平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
，
化简得，解得或；
当时，，；
当时，，；
综上，．
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