自主学习单
知识技能梳理
几何题中出现“中点”后，往往需要根据不同的条件作出辅助线，中点问题是中考中常见的一种题型，对学生的几何思维和解题能力提出了一定的挑战。
与中点有关问题一般不会单独考查，常在几何图形综合题、圆的综合题和几何动态综合题中涉及考查；在题干中出现时，常直接利用三角形中位线性质或中线的性质求解.
在解决中点问题时，学生需要灵活运用几何知识和技巧，比如构造辅助线、观察图形特征等，来找到解题的方法。通过练习中点问题，学生可以培养自己的逻辑思维能力和几何直觉，提高解题效率和准确性。
1.与中点有关的定理
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想:中点往往和三角形的中线紧密联系;中点还与中位线关系密切；如中点是在直角三角形的斜边上，又可以应用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论;另外，中点还可以与中心对称、垂径定理相关。中点在线段的计算、线段倍分关系的证明、角的相等关系的证明、两直线位置关系的判定等方面都有广泛的应用。
2.与中点有关的辅助线
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形位线、构造中心对称图形等，常见的辅助线方法有：(1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点;取一边的中点，然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等.(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形.
3.中点问题常见的模型有：
模型一 三角形中线
特征：出现三角形一边的中点.
涉及定理（性质）：三角形中线等分三角形面积.
AD是△ABC的中线，
则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
例1.如图，在 ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF. 若S BCF=2cm2,则S ABC 为( ).
A.4cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2
针对训练：
1.
若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．
模型二 三角形中位线
特征：多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）.
涉及定理（性质）：三角形中位线定理.
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线
DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，可以解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.
例2.（2023山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
例3.（2023四川巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
针对训练：
1.△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD＝8，CE＝12，则△ABC的面积是 ．
2.（2023四川德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
模型三 倍长中线
特点：三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段).
当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证线段间的数量关系.
例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
针对训练：
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
2.（2020 泰安中考）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC．
模型四 等腰三角形“三线合一”
特点：在等腰三角形中，底边有中点.
等腰三角形中有底边上的中点时，常作边的中线.
由等腰三角形“三线合一”得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，常常用于解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________.
例5.（2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
针对训练：
1. （2023天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 ；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 ．
2.（2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值.
模型五 直角三角形“斜边上的中线”
特点：在直角三角形中，有斜边上的中点.
涉及定理：直角三角形斜边中线定理（如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，常会作斜边上的中线.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点,作斜边上的中线CD，
则有CD＝AD＝BD＝.
作用：①证明线段相等或求线段长；
②构造角相等进行等量代换.
例6.（2023深圳适应性考试）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°, 对角线AC与BD相交于点E，若BE=3DE，则BD=__________.
针对训练：
1.（四川凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
2.如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
模型六：圆中弦、弧的中点
特点：圆中出现中点.
圆中遇到弦、弧的中点，常联想“垂径定理”“圆周角定理”“弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系”.
例7.（2023四川宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
针对训练
1.（2023四川内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
2.（2023 南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
模型七：平面直角坐标系中的中点坐标
特点：在平面直角坐标系中出现中点.
如图，在平面直角坐标系中，已知，点M为线段AB的中点，则点M的坐标为 .
针对性训练
1.（2023山东济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y＝﹣x2+3x+4经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
针对训练
1.（2023年安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．
2.（2023年北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
.详细答案
模型一 三角形中线
例1.如图，在 ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF. 若S BCF=2cm2,则S ABC 为( ).
A.4cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2
答案：C
【解析】
∵点E是AD的中点，
∴，．
∵点D是BC的中点，
∵EF=2BF，
针对训练：
1.
若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．
解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中点，
∴ ．
模型二 三角形中位线
例2.（2023山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【解答】 解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN＝OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．
例3.（2023四川巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】B
【分析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DEAB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故（）2，，可得S△ABFS△ABEAB BE＝8（cm2），故S△DEFS△ABF＝2（cm2），又S△DECDE CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEGS△DEC＝2（cm2），从而S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
【解答】解：连接DE，如图：
∵D、E分别为AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB＝3cm，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴（）2，，
∴，
∴S△ABFS△ABEAB BE68＝8（cm2），
∴S△DEFS△ABF＝2（cm2），
∵S△DECDE CE3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，
∴S△DEGS△DEC＝2（cm2），
∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
∴四边形DFEG的面积为4cm2，
故选：B．
针对练习：
1.△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD＝8，CE＝12，则△ABC的面积是 ．
解：连接DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F．
∵BD和CE分别是两边上的中线，
∴DE＝BC，
∵四边形BDEF为平行四边形，
∴BF＝DE，
∴BF＝CF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△BEC＝S△ACE，
∴S△ABC＝S△CEF＝×12×8÷2＝64．
故答案为：64．
2.（2023四川德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∴点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
模型三 倍长中线
例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，在△ADH与△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，∴CHAH＝4，
∴△ABC的面积＝S△ACH4×48.
答案：8
针对训练
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，在△ADH与△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，∴CHAH＝4，
∴△ABC的面积＝S△ACH4×48.
答案：8
2.（2020 泰安中考）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC．
【解析】（1）四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；
（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，
∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，
∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，
∵G是EC的中点，∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC
模型三 等腰三角形“三线合一”
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________.
答案：
解析：连接AM.
∵在△ABC中，AB＝AC,M为BC的中点，
∴AM BC,CM=BC=3.
在RtAMC中，AC=5，CM=3，
∴AM=4，
∴MN==.
例5.（2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
【分析】连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，由等腰直角三角形的性质推出CN＝AB＝2，CM＝DE＝1，由旋转的性质得到∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，由直角三角形的性质得到CH＝CN＝1，NH＝CH＝，由勾股定理即可求出MN＝＝．
【解答】解：
连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN＝AB＝2，
同理：CM＝DE＝1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CH＝CN＝1，
∴NH＝CH＝，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN＝＝．
针对训练：
1. （2023天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 ；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 ．
【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM＝AD＝，根据勾股定理得到EM＝＝2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根据全等三角形的性质得到EN＝AB＝3，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）过E作EM⊥AD于M，
∵．AD＝3，
∴AM＝DM＝AD＝，
∴EM＝＝2，
∴△ADE的面积为；
故答案为：3；
（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△ABF与△NEF中，
，
∴△ABF≌△NEF（ASA），
∴EN＝AB＝3，
∴MN＝1，
∵PM∥CD，
∴AN＝NG，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝＝，
故答案为：．
2.（2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值.
【分析】以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，由等腰直角三角形的性质，推出CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，M1是DE中点，CM1＝DE＝×2＝1，即可求出M、N距离的最小值和最大值；
解：以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1＝DE＝×2＝1，
∴M、N距离的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距离的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
模型五：直角三角形“斜边上的中线”
例6.（2023深圳适应性考试）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°, 对角线AC与BD相交于点E，若BE=3DE，则BD=__________.
答案：
解析：
针对训练：
1.（四川凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
答案：1+．
解：取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：1+．
2.如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【解析】选C．∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DFAC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°.
模型六：圆中弦、弧的中点
例7.（2023四川宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
答案：A
【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
针对训练
1.（2023四川内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，
∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，
故选：B．
2.（2023 南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．版权所有
【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB13，根据三角形中位线定理得ODBC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
【解答】解：∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴ODBC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案为：4．
10.（2023山东济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y＝﹣x2+3x+4经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】根据 MN＝2ME，确定E点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【解答】解：存在，理由如下：
分两种情况讨论：
当点E为线段MN的中点时
∵PM∥x轴
∴P点、M点关于抛物线对称轴直线x=对称.
∴M（3-m，-m2+3m+4),N(m,0)
∵点E为线段MN的中点，
∴点E的横坐标 ，
点E的纵坐标为
∵点E在直线y＝﹣x+4上，
针对性训练
1.（2023年安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．
解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴，
∴，
∵C是OB的中点，
∴C（，1）．
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴，
解得k＝．
故答案为：．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得，
解得，
2.（2023年北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
