2.3.2两点间的距离公式 同步练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2　两点间的距离公式
1.已知点A(1,1),B(2,3),则A,B两点间的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.2 D.3
2.[2024·江苏徐州高二期中] 已知过A(m,2),B(-m,m-1)两点的直线的倾斜角是45°,则|AB|= (　 )
A.2 B.
C.2 D.3
3.已知三角形的三个顶点分别为A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为 (　 )
A.2 B.
C.11 D.3
4.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为 (　 )
A. B. C.3 D.2
5.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是 (　 )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
6.[2024·四川绵阳南山中学高二月考] 直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:y-2=a(x-1)分别过定点A和B,则|AB|=　　　　.
7.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的距离的最小值是　　　　.
8.在直线x-y+4=0上取一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为　　　　.
9.[2024·哈尔滨兆麟中学高二期中] 设m∈R,过定点A的直线x+my-m=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P,线段AB的中点为Q,则|PQ|的值为 (　 )
A. B.
C. D.与m的取值有关
10.已知A(0,2),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若|AD|≤2|BD|恒成立,则正整数t的最小值是 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
11.(多选题)[2024·辽宁抚顺高二期中] 关于,下列说法正确的是 (　 )
A.可看作点(x,0)与点(1,2)间的距离
B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)间的距离
C.可看作点(x,-1)与点(-1,2)间的距离
D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)间的距离
12.(多选题)[2024·重庆开州中学高二月考] 已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,则实数a的值可能为 (　 )
A.-2 B.0 C.1 D.3
13.已知从点A(3,2)发出的一条光线经过x轴反射后到达点B(-1,3),则光线经过的路程为　　　　　.
14.已知点A(1,-1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标.
15.已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过点A作直线l与直线l1相交于点B,且使|AB|=5,求直线l的方程.
16.[2024·北京大兴区高二期中] 如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射(反射点为M)后射到直线OB上,再经直线OB反射(反射点为N)后射到点P,则|PM|+|MN|+|NP|= (　 )
A.3 B.2
C.6 D.2+
17.已知直线l:(3m+1)x+(2+2m)y-8=0(m为任意实数)过定点P,则点P的坐标为　　　　;若直线l与直线l1 : x=-1,l2:y=-1分别交于点M,N,则|PM|·|PN|的最小值为　　　　.
18.如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,用坐标法证明:(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.
2.3.2　两点间的距离公式答案
1.B　[解析] 根据两点间的距离公式得到|AB|==.
2.C　[解析] 由题知,=tan 45°=1,解得m=1,故A(1,2),B(-1,0),则|AB|==2.故选C.
3.A　[解析] 设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得所以D(4,-2),所以|AD|===2.故选A.
4.D　[解析] 由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.
5.C　[解析] 由题知|AB|==2,|BC|==4,|AC|==2,则|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以三角形ABC是直角三角形.故选C.
6.　[解析] 由题知A(0,-2),B(1,2),故|AB|==.
7. 　[解析] 由两点间的距离公式得点P到原点的距离为= =,所以当x=时,点P到原点的距离最小,为=.
8.　[解析] 设P(x,x+4),则=,解得x=-,则点P的坐标为.
9.A　[解析] 因为直线x+my-m=0经过定点(0,1),所以A(0,1).mx-y-m+3=0变形为m(x-1)-y+3=0,所以该直线经过定点(1,3),故B(1,3).因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,因此△ABP为直角三角形,所以|PQ|=|AB|=×=.故选A.
10.B　[解析] 由题意知直线AC的方程为y=-x+2,因为点D是直线AC上的动点,所以可设D,又|AD|≤2|BD|,所以≤2,化简得x2-x+20≥0,所以Δ=-4×20×≤0,解得t≥或t≤,结合t为正整数得,t的最小值为4.故选B.
11.BD　[解析] ===
,可看作点(x,0)与点(-1,-2)间的距离,也可看作点(x,0)与点(-1,2)间的距离,还可看作点(x,-1)与点(-1,1)间的距离.故选BD.
12.CD　[解析] ax+y+3a-3=0变形为y-3=-a(x+3),故直线l过定点C(-3,3),且斜率为-a,又|AB|==5,所以要使直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,则l:ax+y+3a-3=0与线段AB有交点.连接AC,BC,因为kBC==-,kAC==-4,故-a∈,解得a∈.故选CD.
13.　[解析] 设点A(3,2)关于x轴的对称点为C,则C(3,-2),连接BC,由对称性可知,光线经过的路程即为线段BC的长度.因为|BC|==,所以光线经过的路程为.
14.解:设P(t,t),则|PA|2+|PB|2=(t-1)2+(t+1)2+(t-2)2+(t-2)2=4t2-8t+10,当t=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时P(1,1),所以|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标为(1,1).
15.解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-1),由得即B.由|AB|= =5,解得k=-,所以直线l的方程为y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时,l与l1的交点为(1,4),|AB|=5,也满足题意.
综上所述,直线l的方程为3x+4y+1=0或x=1.
16.B　[解析] 易知直线AB的方程为y=-x+4,如图,设点P(2,0)关于直线AB的对称点为P1(a,b),则=1且=-+4,解得a=4,b=2,即P1(4,2).又点P(2,0)关于y轴的对称点为P2(-2,0),由光的反射定律可知,M,N,P1共线,M,N,P2共线,从而M,N,P1,P2共线,所以|PM|+|MN|+|NP|=|P1M|+|MN|+|NP2|=|P1P2|==2.故选B.
17.(-4,6)　42　[解析] 由题知直线l:m(3x+2y)+(x+2y-8)=0,由解得故P(-4,6).易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y-6=k(x+4)(k≠0),令x=-1,得y=3k+6;令y=-1,得x=--4.则M(-1,3k+6),N,故|PM|·|PN|=·=21·=21≥42,当且仅当k2=,即k=±1时等号成立,故|PM|·|PN|的最小值为42.
18.证明:设C(a,0),A(b,c),则D,F,E,∴(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=(b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)=(a2+b2+c2-ab),
|AD|2+|BE|2+|CF|2=+c2++++=(a2+b2+c2-ab),∴(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.