2024学年第一学期上师闵分—上师宝分 期中联考
高三 数学试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合,集合,则_________
2.向量在向量方向上的数量投影为___________.
3.二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为___________.
4.复数的共轭复数为_________.
5.函数的圆频率是_________.
6.已知是定义在上的偶函数,且它在上严格增,那么使得成立的实数的取值范围是___________.
7.四名男生和两名女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是___________.(结果用数字作答)
8.已知,若,,则___________.
9.已知,,且,,,则_____.
10.设函数在区间内恰有三个极值点和两个零点,则实数的取值范围是______________.
11.若直线是曲线的切线,且,则实数的最小值是_____.
12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,如图所示,若正四面体的棱长为,则勒洛四面体的体积的取值范围是_____.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,每题有且只有一个正确选项)
13.已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.重复次成功概率为的伯努利试验,其成功次数的分布为( )
A.伯努利分布 B.二项分布 C.超几何分布 D.正态分布
15.以抛物线的焦点为右焦点,且长轴为4的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
16.已知定义在集合上的函数满足.(其中).记的最小值为,最大值为,若,.设表示集合中元素的个数,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,在长方体中,,,点在上,.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
18.(满分14分)第(1)小题满分8分,第(2)小题满分6分.
十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议,纲要指出:“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干,攻克系列“卡脖子”技术,该企业使用新技术对某款芯片进行试生产,该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准,性能指标的等级划分如表:
性能指标值
等级 A B C D E
为了解该款芯片的生产效益,该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值,以组距为5画频率分布直方图.设“”,
当时(为正整数),满足:
(1)试确定的所有取值,并求;
(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品,并求出2件都是A等级的概率.
19.(满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.
如图,某公园内有一半圆形人工湖,为圆心,半径为1千米.为了人民群众美好生活的需求,政府为民办实事,拟规划在区域种荷花,在区域建小型水上项目.已知.
(1)求四边形的面积(用表示);
(2)当四边形的面积最大时,求的长(最终结果可保留根号)
20.(满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.
设有椭圆方程,直线下端点为,左、右焦点分别为、在上.
(1)若,中点在轴上,求点的坐标;
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,且,求;
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使.当变化时,求的最小值.
21.(满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.
已知函数,若其定义域为,且满足对一切恒成立,则称为一个“逆构造函数”.
(1)设,判断是否为“逆构造函数”,并说明理由;
(2)若函数是“逆构造函数”,求的取值范围;
(3)已知“逆构造函数”满足对任意的,,都有,且.求证:对任意,关于的方程无解.