2024-2025学年福建省泉州市安溪八中高一（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市安溪八中高一（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.生于忧患，死于安乐由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6.下列命题中真命题的个数是( )
命题“，”的否定为“，”；
“”是“”的充要条件；
集合，表示同一集合．
A. B. C. D.
7.已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
8.我国南宋著名数学家秦九韶约独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作数书九章中具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式，就是现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下正确的选项是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.下列结论中，错误的结论有( )
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
11.设为实数集的非空子集若对任意，，都有，，，则称为封闭集下列命题正确的是( )
A. 自然数集为封闭集
B. 整数集为封闭集
C. 集合为整数为封闭集
D. 若为封闭集，则一定有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若满足，则实数的值为______．
13.已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围为______．
14.知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，求，求的最小值．
，求的最大值．
17.本小题分
已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
命题：且，命题：，，若与不同时为真命题，求的取值范围．
18.本小题分
已知集合．
若是空集，求的取值范围；
若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
若中至多只有一个元素，求的取值范围．
19.本小题分
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等．
例如，，求证．
证明：．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究．
例如，正实数，满足，求的最小值．
解：由，得，所以，
当且仅当，即，时，等号成立所以的最小值为．
结合阅读材料解答下列问题：
已知，求的值；
若正实数，满足，求的最小值．
参考答案
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15.解：当时，集合，
又，
，
或；
，，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：因，，，
则，
当且仅当，且时取等号，
即当，时，有最小值为；
因，则，由，
当且仅当时取等号．
即时有最大值为．
17.根据题意，由“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
而，则有，解得，
所以的取值范围为；
根据题意，命题：且，当命题为真命题时，则有，
命题：，，当命题为真命题时，，即，
所以与同时为真命题时有，解得，
故与不同时为真命题时，的取值范围是，．
18.解：若是空集，
则方程无解
此时，
即
若中只有一个元素，
则方程有且只有一个实根，
当时方程为一元一次方程，满足条件
当，此时，解得：
或
若，则有，
若，则有；
若中至多只有一个元素，
则为空集，或有且只有一个元素
由，得满足条件的的取值范围是：或
19.解：由题意得．
由，得，
由于，故，当且仅当，即，时等号成立．
所以，从而，即的最小值为．
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