《解直角三角形的应用》同步提升训练题（原卷版+解析版）

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《解直角三角形的应用》同步提升训练题
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知AB为圆O直径，弦CD与直径AB相交于点F，且∠BAC＝30°，tan∠DAB＝3，直径AB长为10，则BF的长度为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再由锐角三角函数定义得BD＝AB×sin∠DAB＝3，AD，过B作BG⊥BD交DC于G，则BG∥AD，BGBD，然后证△BFG∽△AFD，即可解决问题．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AB为圆O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠DAB＝3，
∴sin∠DAB，
∴BD＝AB×sin∠DAB＝3，
∴AD，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝30°，
过B作BG⊥BD交DC于G，
则BG∥AD，BGBD，
又∵BG∥AD，
∴△BFG∽△AFD，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】由圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，求出sin∠BAC即可解决问题．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB5，
∴sin∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BDC＝sin∠BAC．
故选：A．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，AC与BD交于点E．若AB＝AD＝10，，且BD＝4BE，则DE的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【思路点拔】利用三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，作AF⊥BD，
由题意可得：∠ACD＝∠ABD，
∵AB＝AD＝10，AF⊥BD，，
∴，
∴，
∴BD＝12，
∵BD＝4BE，
∴BE＝12÷4＝3，
∴DE＝3BE＝9，
故选：A．
4．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（　　）
A． B． C．1 D．
【思路点拔】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC，从而得到tan∠ADC的值．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC．
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，则OH的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
【思路点拔】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH＝4，由勾股定理得出BH3，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cos∠CDB，BD＝5，
∴DH＝4，
∴BH3，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x，
∴OH，
故选：A．
6．如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连结OC，若⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．BC＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COBm2 sinα
【思路点拔】根据垂径定理得到BE＝CE，再利用正弦的定义得到sinα，则可对A、B进行判断；利用余弦的定义得到OE＝m cosα，则AE＝m﹣m cosα，于是可对C进行判断；然后利用三角形面积公式可对D进行判断．
【解答】解：∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，∠OEC＝90°，
∵sinα，
∴OE＝m sinα，所以A选项不符合题意；
∴BC＝2CE＝2m sinα，所以B选项符合题意；
∵cosα，
∴OE＝m cosα，
∴AE＝OA﹣OE＝m﹣m cosα，所以C选项不符合题意；
∵S△AOB＝2CE OE
∴S△AOB＝m sinα m cosα＝m2 sinα cosα，所以D选项不符合题意．
故选：B．
7．如图，⊙O的直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，，OE＝3，则sin∠CMD的值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OD，先根据垂径定理得出CD＝2DE，再由tan∠CDA，可知，设AE＝x，则DE＝2x，⊙O的半径等于3+x，根据勾股定理用x＝2，则DE＝4，OD＝5，再由圆周角定理得出∠CMD＝∠EOD，再根据锐角三角函数定义可得出结论．
【解答】解：连接OD，
∵⊙O的直径AB⊥CD于E，
∴CD＝2DE．
∵tan∠CDA，
∴，
设AE＝x，则DE＝2x，⊙O的半径等于3+x，
在Rt△ODE中，OE2+DE2＝OD2，
由勾股定理得：32+（2x）2＝（3+x）2，
∴x＝2或x＝0（舍去），
∴AE＝2，
∴DE＝4，OD＝5，
∵∠CMD＝∠EOD，
∴sin∠CMD＝sin∠EOD．
故选：A．
8．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【思路点拔】连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，根据圆周角定理求出∠EAH＝90°，解直角三角形求出AH＝4，根据勾股定理求出EH＝2，根据垂径定理求出AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，
∵EH是⊙O的直径，
∴∠EAH＝90°，
∴tan∠AHE，
∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA，
∴tan∠AHE＝tan∠CBA，
∴，
∵AE＝2，
∴AH＝4，
∴EH2，
∴⊙O的半径为，
∴OG＝OB，
∵OG⊥AB于F，
∴AB＝2BF，
根据折叠的性质得，OF＝GF，
∴OFOG，
∴BF，
∴AB，
故选：C．
二．解答题（共52小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，求OH的长度．
【思路点拔】连接OD，根据题意可得AB⊥CD，先在Rt△DHB中，利用锐角三角函数求出DH，再利用勾股定理求出BH，最后在Rt△OHD中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cos∠CDB，BD＝5，
∴cos∠CDB，
∴DH＝4，
∴BH3，
设OH＝x，则BO＝OD＝x+3，
在Rt△OHD中，OH2+DH2＝OD2，
∴x2+16＝（x+3）2，
∴x，
∴OH，
∴OH的长度为．
10．如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，．
（1）求证：BE＝CD．
（2）求sin∠CMD．
【思路点拔】（1）先根据垂径定理得出CD＝2DE，再由tan∠CDA，可知，设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x，连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x，根据勾股定理用x表示出r及OE的值，进而可得出结论；
（2）根据（1）得DE＝2x，OD＝2.5x，由∠CMD＝∠EOD可得出结论．
【解答】（1）证明：∵⊙O的直径AB⊥CD于E，
∴CD＝2DE，
∵tan∠CDA，
∴，
∴设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x，
连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x
由勾股定理得：（r﹣x）2+（2x）2＝r2，
解得r＝2.5x，OE＝1.5x，
∴BE＝2.5x+1.5x＝4x，
∵CD＝2DE＝4x，
∴BE＝CD；
（2）解：∵DE＝2x，OD＝2.5x，∠CMD＝∠EOD，
∴sin∠CMD＝sin∠EOD．
11．某水渠的横断面是以AC为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，AB是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得∠BDA、∠BCA分别为60°，30°，已知AD＝1m．
（1）求AC的长；
（2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为MN，若的长为πm，求DN的长（tan27°）．
【思路点拔】（1）在Rt△BDA中，在Rt△BCA中，根据三角函数作答即可；
（2）连接OM，过点O作OE⊥MN于E点，设∠AOM＝n°，在Rt△MOE中，ME，根据勾股定理，OM2＝OE2+ME2，求出OE，过D作DD′⊥AC于点D′，四边形DD′OE是平行四边形，DN＝DE+DN即可作答．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，AD＝1，
在Rt△BDA中，∠BDA＝60°，
∴AB＝AD tan60°＝1，
在Rt△BCA中，∠BCA＝30°，
∴AC3，
∴AC的长为3；
（2）连接OM，过点O作OE⊥MN于E点，如图，
∴ME＝EN，
设∠AOM＝n°，
∴，
∴n＝27°，
∴∠AOM＝n°＝27°，
∵AC∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN＝27°，
在Rt△MOE中，
∴ME2OE，
根据勾股定理，OM2＝OE2+ME2，
∴OE，ME，
∴ME＝EN，
过D作DD′⊥AC于点D′，
∴DD′∥OE，
∵AC∥MN，
∴四边形DD′OE是平行四边形，
∴DE＝D′O，
∴DN＝DE+DN，
∴DN的长为．
12．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
【思路点拔】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可；
（2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小，进而求出答案．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB sin∠BAE
＝3×sin53°
≈3
，
在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE，
∵sin∠BOE，
∴OB
＝4（m），
答：OB＝4m；
（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD sin37°
≈10
＝6（m），
∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m），
在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m，
∴sin∠D′OG，
∴∠D′OG≈64°，
∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，
即云梯OD大约旋转了27°．
13．绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【思路点拔】延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H，根据题意可得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG，先根据线段的中点定义可得：CP＝BP＝30米，从而可得HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米，然后分别在Rt△DHQ和Rt△AQG中，利用锐角三角函数的定义求出DH和AG的长，从而求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H，
由题意得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG，
∵P为BC的中点，
∴CP＝BPBC＝30（米），
∴HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米，
在Rt△DHQ中，∠DQH＝60°，
∴DH＝HQ tan60°＝30（米），
在Rt△AQG中，∠AQF＝37°，
∴AG＝QG tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
∵CD＝11米，
∴CH＝BG＝CD+DH＝（11+30）米，
∴AB＝BG﹣AG＝11+3022.5≈40.4（米），
∴塔高AB的值约为40.4米．
14．货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
【思路点拔】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，
则∠BAC＝∠BCA＝60°，
故△ABC是等边三角形，
则BC＝AC40＝20（海里）．
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是20海里．
15．周末妈妈和小明在位于小明家A西北方向的书店B看书．回家时，小明想先沿BC去位于家A的正西方向、距家240米的菜鸟驿站C处取包裹，然后再沿CA回家；妈妈想先沿BD去位于家A的北偏西15°方向的干洗店取衣服，然后再沿DA回家．已知书店B位于菜鸟驿站C的北偏东15°方向、干洗店D的南偏西75°方向．（参考数据：1.41，1.73）
（1）求小明家与书店的距离AB（结果保留整数）；
（2）小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？
【思路点拔】（1）过点C作CE⊥AB于E，依题意得∠CAB＝45°，∠ACB＝75°，∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，进而得∠BCE＝30°，AC米，解Rt△ACE得AE＝CE＝240米，解Rt△BCE得BE米，再根据AB＝BE+AE可得出答案；
（2）解Rt△BCE得BC米，进而可求出小明回家的路程BC+CA；解Rt△ABD得BD米，AD米，进而可求出妈妈回家的路程BD+AD，然后再比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
∵书店B位于小明家A的西北方向，
∴∠CAB＝45°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°，CE＝AE，
∵∠ACB＝90°﹣15°＝75°，∠BAD＝45°﹣15°＝30°，∠ADB＝75°+15°＝90°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝75°﹣45°＝30°，△ABD为直角三角形，
在Rt△ACE中，AC米，∠CAB＝45°，
∴sin∠CAB，
∴CE＝AC sin∠CABsin45°＝240（米），
∴AE＝CE＝240米，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，CE＝240米，
∴tan∠BCE，
∴BE＝CE tan∠BCE＝240×tan30°（米），
∴AB＝BE+AE80×1.73+240≈378（米），
答：小明家与书店的距离AB约为378米．
（2）在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，CE＝240米，
∴cos∠BCE，
∴BC（米），
∴小明回家的路程是：BC+CA160×1.73+240×1.41≈615（米），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB米，
∴sin∠BAD，cos∠BAD，
∴BD＝AB sin∠BAD米，AD＝AB cos∠BAD米，
∴妈妈回家的路程为：BD+AD240+160×1.73≈517（米），
∵615﹣517＝98，
∴小明和妈妈回家的路程相差98米．
答：小明和妈妈回家的路程相差98米．
16．图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背BC＝70cm，将椅背角度从110°调节到150°（即∠ABC＝110°，∠ABD＝150°）时，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，求水平方向增加的距离EF长．（结果精确到lcm；参考数据：sin70°≈0.9，cos70°≈0.3，tan70°≈2.7，）
【思路点拔】在Rt△CBE与Rt△DBF中由CE⊥AB，DF⊥AB，得出BE＝BC cos∠CBE，BF＝BD cos∠DBF，从而可推出EF的长．
【解答】解：由题意得：BC＝BD＝70cm，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣110°＝70°，
∵∠ABD＝150°，
∴∠DBF＝180°﹣150°＝30°，
在Rt△CBE与Rt△DBF中，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴BE＝BC cos∠CBE，
BF＝BD cos∠DBF，
∴EF＝BF﹣BE＝BD cos∠DBF﹣BC cos∠CBE
＝70×cos30°﹣70×cos70°
≈39（cm）．
答：水平方向增加的距离EF长约39cm．
17．如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度AB的过程中，绘制了如图②的示意图．在C处用高为1.2m的测角仪CD测得塔顶端A的仰角为45°，再向黄龙塔方向前进到达距C处22m的E处，又测得塔顶端A的仰角为64°．求黄龙塔的高度AB（结果精确到1m）．
【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05】
【思路点拔】根据题意得到∠ADG＝45°，∠AEG＝64°，CE＝DG＝22m，CD＝BF＝1.2m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CE交AB于F，
根据题意，得∠ADG＝45°，∠AEG＝64°，CE＝DG＝22m，CD＝BF＝1.2m，
在Rt△ADACFG中，tan∠ACF，
∴CF，
∴EF＝CF﹣CE＝AF﹣22，
在Rt△AEF中，tan∠AEF，
∴AF＝EF tan64°＝tan64°（AF﹣22）＝2.05×（AF﹣22），
解得AF≈43（m），
∴AB＝AF+BF＝43+1.2≈44（m）．
答：黄龙塔的高度约为44m．
18．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB＝2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO＝3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH＝60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：1.41，1.73）
【思路点拔】过点B作BN⊥OH于N，延长AD交BN于M，根据正弦的定义分别求出BM、BN，计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BN⊥OH于N，延长AD交BN于M，
则四边形DHNM为矩形，
∴DH＝MN，
在Rt△AMB中，AB＝2.4m，∠BAM＝45°，
则BM＝AB sin∠BAM＝2.4（m），
在Rt△ANO中，BC＝3m，∠BOH＝60°，
则BN＝OB sin∠BOH（m），
∴MN＝BN﹣BM0.9（m），
∴DH≈0.9m，
答：DH的长约为0.9m．
19．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732）
【思路点拔】过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH，再解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°，
∴CFEF＝50（米），
∴BC＝BF+CF＝（50+50）（米）．
答：建筑物BC的高度为（50+50）米．
20．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°；
方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64）
【思路点拔】方案一：根据解直角三角形求解；
方案二：根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：方案一：过D作DE⊥AB于点E，
由题意得：CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠C＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，DE＝BC＝10m，
在Rt△ADE中，tan∠ADE，
∴AE＝DEtan∠ADE≈0.64×10＝6.4m，
∴AB＝AE+EB＝1.6+6.4＝8m．
方案二：由题意得：CE＝2，BC＝10，DE＝1.6，∠E＝∠B＝90°，∠DCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
即：，
解得：AB＝8m．
答：树AB的高度为8米．
21．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为45°，沿着坡度的斜坡AE走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A、B、C、D在同一平面内．
（1）填空：∠EAG＝　30　°，∠ADB＝　61　°；
（2）求斜坡上点D到AG的距离；
（3）求大树BC的高度（结果精确到0.1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，）
【思路点拔】（1）由坡度可求∠EAG，由平行线的性质和已知条件可求∠ADB；
（2）过D向AG作垂线，利用锐角三角函数进行求解；
（3）设BC＝x，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解．
【解答】解：（1）如图所示，作DF⊥AG、DH⊥BC
∵
∴
∴∠EAG＝30°
∵DH∥CG
∴∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝30°+31°＝61°
故答案为：30，61；
（2）在Rt△AFD中，∠DAF＝30°，AD＝6，
DF＝AD sin30°＝3，
答：点D到AG的距离为3米．
故答案为：3米；
（3）由图可知，四边形DFCH是矩形，
∴CH＝DF＝3
设BC＝x，则BH＝BC﹣CH＝x﹣3，
在Rt△ACB中，∵∠BAC＝45°，
∴AC＝BC tan45°＝x；
在Rt△AFD中，
∴；
在Rt△BHD中，，
∴，
解得，
答：大树BC的高度约为15.3米．
故答案为：15.3米．
22．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，连接AC交BD于点E，∠BAC＝∠ADB，且．
（1）求BD的长；
（2）若，求CD的长．
【思路点拔】（1）由∠BAC＝∠ADB，可得，即，设BE＝a，则AB＝2a，BD＝4a，由勾股定理得，，可求，进而可求BD；
（2）如图，过C作CF⊥BD于F，由BC∥AD，可得∠DBC＝∠ADB，则，设CF＝b，则BF＝2b，由勾股定理得，，可求b＝1，则BF＝2，DF＝BD﹣BF＝4，由勾股定理得，，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，AB⊥BD，
∴△ABE和△ABD都是直角三角形，
∵∠BAC＝∠ADB，
∴，
∴，
设BE＝a，则AB＝2a，BD＝4a，
由勾股定理得，，
解得，
∴BD＝4a＝6，
∴BD的长为6；
（2）如图，过C作CF⊥BD于F，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴，
设CF＝b，则BF＝2b，
由勾股定理得，，
解得b＝1，
∴BF＝2，DF＝BD﹣BF＝4，
∴，
∴CD的长为．
23．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的长度；
（2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离．
【思路点拔】（1）根据含30°角的直角三角形的性质计算；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而求出AD，根据正切的定义求出AD，计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AC＝2CD＝2×6＝12（米），
答：新坡面AC的长度为12米；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，CD＝6米，
∴BD＝CD＝6米，
∵NB＝8米，
∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AD6（米），
∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米，
答：新坡面底部点A到建筑物MN的距离为（14﹣6）米．
24．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
【思路点拔】根据题意，设设AB＝x cm，分两种情况计算出AF和AH的长，利用AF＝AH建立方程（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，求出x值即可．
【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x，
∵sin53°，
∴AF＝（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x） sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
25．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【思路点拔】（1）根据题意可得：BA⊥AE，再根据已知易得：在Rt△ABE中，tan∠BEA，从而可得∠BEA＝30°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，然后设EC＝x米，则BF＝AC＝（x+3）米，分别在Rt△CDE和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出CD和DF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
26．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，求乙建筑物的高CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
【思路点拔】根据四边形ABDE是矩形，由矩形的性质得AB＝DE＝20m，AE＝BD＝40m，在Rt△AEC中，由∠CAE的正切函数可求出CE的长，进而根据CD＝DE+CE即可算出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，如图，
∵AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AB＝DE＝20m，AE＝BD＝40m，
∵∠CAE＝25°，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，CE＝AE tan25°≈18.8（m），
∴CD＝DE+CE＝20+18.8＝38.8（m）≈39（m），
答：乙建筑物的高CD为39m．
27．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：，）
（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．
【思路点拔】（1）过点B作BP⊥AD于点P，可求出∠ADB＝30°，利用含30°的直角三角形的性质得出BD＝2BP，在Rt△ABP中，利用正弦定义可求出BP，即可求解；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，在Rt△BDM中，利用正弦定义可求出BM、DM，在Rt△BCM中，利用含30°的直角三角形的性质可求出CM，即可求解．
【解答】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P，
∵∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，
∴BD＝2BP，AP＝BP，
在Rt△ABP中，AB＝240米，
∴（米），
∴（米）．
（2）过点B作BM⊥CD于点M，
由（1）得（米），
∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，
∴∠DBM＝45°＝∠CDB，
∴BM＝DM，
，，
∴（米），
在Rt△BCM中，∠CBM＝75°﹣45°＝30°，
∴（米），
∴DC＝DM+CM＝（240+80）（米）．
答：DC的距离为（）米．
28．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【思路点拔】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75，
设EH＝4x m，则FH＝3x m，
∴EF5x m，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，x＝3，
∴FH＝3x＝9m．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝23.9+12＝35.9，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1），
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴1.25，
∴CF≥30.75．
答：底部C距F处30.75m远．
29．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45）
【思路点拔】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM＝CMCD＝3，则AN＝DM＝3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i＝1：，得出BNAN＝6，然后根据勾股定理求出AB；
（2）先解Rt△MED，求出EMDM＝3，那么EC＝EM﹣CM＝33，再根据BE＝BC﹣EC即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD＝135°，
∴∠DCM＝45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，
∴DM＝CMCD＝3，
∴AN＝DM＝3，
∵通道斜面AB的坡度i＝1：，
∴tan∠ABN，
∴BNAN＝6，
∴AB37.4．
即通道斜面AB的长约为7.4米；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，
∴EMDM＝3，
∴EC＝EM﹣CM＝33，
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣（33）＝8+334.9．
即此时BE的长约为4.9米．
30．如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝50m，，且∠ABC＝90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为50m，通过计算说明道路AB被监控到的最大范围为多少米．
【思路点拔】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC，进而利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝AD＝50m，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC50，∠CAB＝45°，
在△ACD中，AD2+AC2＝502+（50）2＝7500＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝90°+45°＝135°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF，
由轴对称的性质，得：DF＝DA＝50m，AE＝EF，
由（1）知，∠BAD＝135°，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DEAD＝25（m），
∴AF＝2AE＝50（m），
∴被监控到的道路长度为50m．
31．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想．
（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长．
（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点F，旋转点O到点F的距离为20cm，嘉嘉看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，点O到点B的距离为25cm，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【思路点拔】（1）根据题意求出∠AOC，再根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算即可；
（2）过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BE于N，根据正弦的定义求出OM，进而求出BM，再根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣150°＝30°，
在Rt△AOC中，AC＝15cm，∠AOC＝30°，
则OA＝2AC＝30cm，
∵∠A′OB＝120°，∠AOB＝150°，
∴∠AOA′＝30°，
∴A点到A′走过的路径长为：5π（cm）；
（2）如图2，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BE于N，
则四边形FMBN为矩形，
∴FN＝BM，
在Rt△OFM中，OF＝20cm，∠FOM＝180°﹣120°＝60°，
则OM＝OFcos∠FOM＝10（cm），
∴BM＝OM+OB＝35（cm），
∴FN＝35cm，
在Rt△EFN中，FN＝35cm，∠EFN＝18°，
则EF37（cm），
答：眼睛到F点的距离约为37cm．
32．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
【思路点拔】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．
【解答】解：如图，由题意得，在△ABC中，CD＝100，∠ACD＝30°，∠DCB＝20°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AD＝CD tan∠ACD＝10057.73（米），
在Rt△BCD中，BD＝CD tan∠BCD≈100×0.36≈36（米），
∴AB＝AD+DB＝57.73+36＝93.73≈93.7（米），
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．
33．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物AB与教学楼ED之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离EC＝22m．
某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为60°，教学楼顶D的仰角为45°，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为22°．
（Ⅰ）求教学楼ED的高；
（Ⅱ）设建筑物AB的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求建筑物AB的高度．（tan22°取0.40，取1.41，取1.73，结果取整数）
【思路点拔】（Ⅰ）根据题意求出Rt△DEC为等腰直角三角形，则ED＝EC作答即可；
（Ⅱ）①在Rt△BCA中，根据三角函数先求出AC，再EA＝EC+AC，即可求解；
②过点D作DH⊥AB，垂足为H，四边形DEAH是矩形，对边相等，在Rt△ADH中，DH tan22°＝AH，进而作答即可．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△DEC中，∠ECD＝45°，EC＝22，
∴∠EDC＝90°﹣∠ECD＝45°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴ED＝EC＝22，
即教学楼ED的高为22m；
（Ⅱ）①在Rt△BCA中，∠BCA＝60°，AB＝h m，
∴AC（m），
∴EA＝EC+AC＝22（m），
∴EA的长为（22）m；
②如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
根据题意，∠DEA＝∠EAH＝∠AHD＝90°，
∴四边形DEAH是矩形，
∴DH＝EA＝（22）m，AH＝DE＝22，
在Rt△ADH中，∠ADH＝22°，
∴DH tan22°＝AH，
∴h57（m），
答：建筑物AB的高度约为57m．
34．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）
【思路点拔】延长AC交EG于点H，根据三角形的外角性质得到∠CEA＝22.5°，得到∠CEA＝∠EAH，根据等腰三角形的判定求出EC，再根据中正弦的定义求出EH，进而求出EG．
【解答】解：如图，延长AC交EG于点H，
由题意得：AH⊥EG，
∵EG⊥BG，CD⊥BG，
∴四边形FGDC为矩形，
∴HG＝CD＝1.7m，HC＝GD，
∵∠ECH＝45°，∠EAH＝22.5°，
∴∠CEA＝∠ECH﹣∠EAH＝22.5°，
∴∠CEA＝∠EAH，
∴EC＝AC＝20m，
∵∠ECH＝45°，
∴EH＝EC sin∠ECH＝2010（m），
∴EG＝EH+HG＝101.7≈15.8（m），
答：小山EG的高度约为15.8m．
35．太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
【思路点拔】如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的长洁儿求出HF的长，解直角三角形DHF求出DH的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，
∴CM＝AG，HF＝EG，HG＝EF，
∵∠BCD＝60°，
∴∠DCM＝30°，
又∵∠CMD＝90°，
∴CM＝CD cos∠DCM米，
∴米，
∴米，
∴DH＝HF tan∠DFH≈8.2米，
∴DG＝DH+GH＝9.4米，
∴路灯D距地面AE的高度为9.4米．
36．小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为30°，向楼房前行20m在B点处测得楼房顶端D点的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.6m（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数）
【思路点拔】根据题意可得：AM＝BN＝CE＝1.6m，AB＝MN＝20m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，然后利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝20m，再在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.6m，AB＝MN＝20m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝20m，
在Rt△DNE中，DE＝DN sin60°＝2010（m），
∴．
答：楼房CD的高度约为19m．
37．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：1.73）．
【思路点拔】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AB交DC于H，
则∠AHD＝90°，
∵∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BHBC＝3米，CHBC＝3米，
∵∠ADC＝45°，
∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，
∴AB＝AH﹣BH＝4+33＝1+36.2（米），
答：杨树AB的高度约为6.2米．
38．鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品位的大型综合性广场．其中，钟楼是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的A处测得塔顶P的仰角为45°，在某建筑物顶部B处，又测得塔顶P的仰角为38.7°，已知建筑物的总高度BC为5.2米，水平距离AC的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
【思路点拔】过点B作BH⊥DP于点H，可证四边形HDCB是矩形，从而可得HB＝CD，BC＝DH，根据tan38.7°，BH＝（PD+10）米，PH＝（PD﹣5.2）米，求解即可．
【解答】解：过点B作BH⊥DP于点H，如图所示：
则∠PHB＝∠DHB＝90°，
∵∠PDC＝∠BCD＝90°，
∴四边形HDCB是矩形，
∴HB＝CD，BC＝DH，
∵∠PBH＝38.7°，
∴tan38.7°，
∴PH＝tan38.7° BH，
∵∠PAD＝45°，
∴∠APD＝45°，
∴PD＝AD，
∵BC＝5.2米，AC＝10米，
∴BH＝（PD+10）米，PH＝（PD﹣5.2）米，
∴（PD﹣5.2）＝tan38.7° （PD+10），
∵tan38.7°≈0.80，
∴PD≈66米，
∴钟塔的高度为66米．
39．第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）
【思路点拔】在Rt△ACD中，由锐角三角函数定义可得AD，再在Rt△BCD中，由锐角三角函数定义可得BD，进而可得火炬塔CD的高度．
【解答】解：设CD＝x米，
在Rt△ACD中，tan42°，
∴AD，
在Rt△BCD中，tan65°，
∴BD，
∵AB＝20米，
∴，
解得x≈31．
答：火炬塔CD的高约为31米．
40．如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
【思路点拔】根据题意得CE∥AD，CD＝5m，根据平行线的性质得到∠A＝∠α＝17°．∠CBD＝∠β＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：根据题意得：CE∥AD，CD＝5m，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠α＝17°．∠CBD＝∠β＝45°，
在Rt△ACD中，
∵CD＝5，
∴，
∴AD＝5÷0.31＝16.1（m），
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCD＝∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝5（m），
∴AB＝AD﹣BD≈16.1﹣5＝11.1＝11（m）
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m．
41．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图，李乐利用无人机测量教学楼的高度AB，无人机在空中点M处，测得点M距地面上C点30m，点C处的俯角为55°，距楼顶A点10m，点A处的俯角为30°，其中点A，B，C，M在同一平面内．若每层教学楼的高度为3.4m，楼顶加盖2m，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
【思路点拔】过点M作MD⊥CB于点D，过点A作AE⊥MD于点E，在Rt△MCD和Rt△MAE中，分别利用锐角三角函数求出MD，ME的长，即可得DE的长，则可得AB的长，再根据题意列方程可得答案．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥PD于点E，
则∠MCB＝55°，MC＝30米，MA＝10米，∠MAE＝30°，BA＝DE，
在Rt△MCD中，sin55°0.82，
可得MD≈24.6米，
在Rt△MAE中，sin30°，
可得ME＝5米，
∴DE＝MD﹣ME＝19.6米，
∴AB＝19.6米，
设该教学楼的层数为m层，
由题意得，3.4m+2＝19.6，
解得m≈5，
答：该教学楼的层数为5层．
42．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【思路点拔】（1）根据垂直定义可得∠AMN＝∠DNM＝90°，再利用平行线的性质可得∠DAM＝90°，从而可得四边形AMND是矩形，然后利用矩形的性质可得AD＝MN，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）延长CB交AM于点G，根据题意可得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，从而可得∠ABG＝62°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），
∴“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）延长CB交AM于点G，
由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°，
在Rt△ABG中，AG＝BG tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），
∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
43．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；
（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）
【思路点拔】（1）由勾股定理的逆定理，即可解决问题；
（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，判定四边形MNKC是矩形，得到NK＝CM，由三角形面积公式得到90CM＝72×54，求出CM＝43.2（cm），得到NK＝CM＝43.2（cm），由锐角的正弦求出FK＝4069.28（cm），即可得到FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．
【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：
∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，
∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，
∵EH∥DG∥AB，
∴GK⊥FN，
∴四边形MNKC是矩形，
∴NK＝CM，
∵△ABC的面积AB CMAC BC，
∴90CM＝72×54，
∴CM＝43.2（cm），
∴NK＝CM＝43.2（cm），
∵EH∥DG，
∴∠FGK＝∠EHG＝60°，
∴sin∠FGK＝sin60°，
∵FG＝80cm，
∴FK＝4069.28（cm），
∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．
∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．
44．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　20　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【思路点拔】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB sin60°＝2412（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC cos20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝129.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
45．如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）
【思路点拔】过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，则CD＝AD，再由锐角三角函数定义得BDAD，则ADAD＝75，求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，如图所示：
则∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，
在Rt△ACD中，tan∠ACD，
∴CDAD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴BDAD，
由题意得：ADAD＝75，
解得：AD＝300（m），
∵此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，
∴此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为：20℃0.6℃＝18.2℃，
答：此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为18.2℃．
46．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的7.00km处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：A点分别在B点的北偏东57°处、在C点的东北方向．
（1）试求出小岛码头A点到海岸线BC的距离；
（2）有一观光客轮K从B至A方向沿直线航行，某瞭望员在C处发现，客轮K刚好在正北方向的D处，当客轮航行至E处时，发现E点在C的北偏东27°处，请求出E点到C点的距离；
（注：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，结果精确到0.01km）
【思路点拔】（1）根据构造直角三角形，得出tan33°，求出即可；
（2）过C作CN⊥AB于N，利用33°正弦值求出EC＝2NC，进而得出即可．
【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M，
设AM＝x km，
∵∠ACM＝45°，
∴CM＝x km，
则由题意得：tan33°，
∴（7+x）tan33°＝x，
则：7×tan33°＝x（1﹣tan33°），
7×0.65≈0.35x，
∴x≈13.00，
故小岛码头A点到海岸线BC的距离为13.00km；
（2）过C作CN⊥AB于N，
∵∠ABC＝33°，∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝57°，
又∵∠DCE＝27°，
∴∠BEC＝57°﹣27°＝30°，
∴sin33°，sin30°＝0.5，
则EC＝2NC＝2BC×sin33°≈2×7×0.54≈7.56（km），
故E点到C点的距离为7.56km．
47．2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡BD的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD的高度为10米，火箭发射，雷达中心C测得火箭底端A点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至的M处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.96，tan14°≈0.25）
【思路点拔】过C点作CE⊥AM于点E，延长CD交BA的延长线于点F，设DF＝x，则BF＝0.75x，利用勾股定理求出x的值，再利用正切的定义求出EC、ME，即可得解．
【解答】解：过C点作CE⊥AM于点E，延长CD交BA的延长线于点F，
在Rt△DBF中，坡度为1：0.75，BD＝50米，
设DF＝x米，则BF＝0.75x米，
∴502＝x2+（0.75x）2，
∴x＝40，
∴AE＝CD+DF＝10+40＝50（米），DF＝40米，
∵，
∴米，
∵∠MCE＝76°，
∴∠M＝14°，
∵，
∴（米），
∴MA＝ME+EA＝800+50＝850（米），
∴850÷2＝425（米/秒）
答：火箭发射时速度约为425米/秒．
48．（1）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°；
（2）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．
【思路点拔】（1）先计算出特殊的三角函数值，按照运算顺序计算即可；
（2）作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，利用坡度和正切的定义分别求出AE＝50米，米．即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）原式
；
（2）作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，，即，
解得：AE＝50米．
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴米，
∴（米）．
故坝底AD的长度约为90.6米．
49．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
【思路点拔】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：如图，
由题意可得，
∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝120米，
∴BD＝AD tan30°＝12040（米），
在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，AD＝120米，
∴CD＝AD tan60°＝120（米），
∴BC＝BD+CD＝40120160（米），
即这栋楼的高度BC约为160米．
50．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 　1　；
（2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　　．
【思路点拔】（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值；
（2）根据△ABC中，CB＝CA，sadC，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题；
（3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．
【解答】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°．
故答案为：1．
（2）如图②所示：
作CD⊥BA于点D，
∵△ABC中，CB＝CA，sadC，sadC，
∴ABBC，BD＝ADAB，
∴BD＝ADAB，
∴CDBC，
∴tanB，
即tanB；
（3）如图③所示，在AB上截取AD＝AC，作DE⊥AC于点E，
Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，
设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝AD＝4a．
∴DE＝AD sinA＝4a，AE＝AD cosA＝4a，
∴CE＝AC﹣AE＝4a，
∴CDa，
∴sadA，
故答案为：．
51．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；
（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm，求CD的长．（结果精确到1cm）
【思路点拔】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据已知易得：BD＝70cm，然后在Rt△DBE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H，根据题意得：GH⊥AB，AH＝FG，DF＝140cm，从而可得∠BHG＝90°，进而可得∠BCH＝30°，然后在Rt△BCH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BH＝15cm，从而可得FG＝AH＝100cm，进而可得DG＝40cm，最后利用平角定义可得∠DCG＝53°，从而在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出DC的长，即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵BC＝30cm，CD＝40cm，
∴BD＝BC+CD＝70（cm），
在Rt△DBE中，∠ABC＝53°，
∴BE＝BD cos53°≈70×0.6＝42（cm），
∵AB＝115cm，
∴AE＝AB﹣BE＝115﹣42＝73（cm），
∴端点D距离地面的高度约为73cm；
（2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H，
由题意得：GH⊥AB，AH＝FG，DF＝140cm，
∴∠BHG＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵BC＝30cm，
∴BHBC＝15（cm），
∵AB＝115cm，
∴FG＝AH＝AB﹣BH＝115﹣15＝100（cm），
∴DG＝DF﹣FG＝140﹣100＝40（cm），
∵∠BCD＝97°，
∴∠DCG＝180°﹣∠BCH﹣∠BCD＝53°，
在Rt△DCG中，CD50（cm），
∴CD的长约为50cm．
52．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
【思路点拔】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长；
（2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD8；
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝8+6＝14；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，
∵AD⊥BC，
∴，
∴sin∠DAE．
53．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．
【思路点拔】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由平角的定义可求解∠CBD＝60°，通过解直角三角形可求解BD，CD的长，即可求解AD的长，再利用勾股定理可求解AC的长．
【解答】解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝180°﹣120°＝60°，
∵BC＝2，
∴sin∠CBD，cos∠CBD，
即sin60°，cos60°，
∴CD，BD＝1，
∵AB＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴AC．
54．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求∠ACB的度数．
【思路点拔】（1）根据勾股定理可求出答案；
（2）利用勾股定理求出AD，AB，再根据勾股定理的逆定理可得答案．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝9，BC＝15，
∴CD
＝12；
（2）在Rt△ACD中，CD＝12，AC＝20，
∴AD
＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝400+225＝625，AB2＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
55．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝30，BC＝20，，求AD的长．
【思路点拔】如图，延长AD与BC交于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求得BE＝40，利用勾股定理求得，然后在Rt△CDE中利用三角函数的定义求出DE＝16，代入AD＝AE﹣DE计算即可．
【解答】解：如图，延长AD与BC延长线交于点E．
在Rt△ABE中，，AB＝30，
∴BE＝40，
∴，EC＝BE﹣BC＝40﹣20＝20．
∴，
∴，
∴DE＝16，
∴AD＝AE﹣DE＝50﹣16＝34，
即AD的长为34．
56．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．
【思路点拔】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；
（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB2，
∵AB ACBC AH，
∴AH，
∴BH，
∵AH⊥BD，
∴BH＝HD，
∴BD；
（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：
由（1）得：AH，BD，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6，
∵AH CDDM AC，
∴DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM，
∴cos∠DAC．
57．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6．求AB和AC的值．
【思路点拔】首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sina，
设BC＝3k，则AB＝7k（k＞0），
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝3k＝6，即k＝2，
∴AB＝14，
在Rt△ABC中，AC4．
58．为满足市民锻炼需求，我市在公园里的一条景观大道AC两侧开辟了两条长跑锻炼路线，如图，①A→B→C；②A→D→E→C．经测量A在C的正西方向，B在A的北偏东53°方向，C在B的南偏西8°方向，D在A的南偏东30°方向，E在D的正东方向且在C的正南方向，AD＝AC＝1000米．（参考数据：，，，，）
（1）求B，C的距离；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短的路线进行锻炼，请通过计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【思路点拔】（1）作CH⊥AB于点H，设CH＝3x米，则AH＝4x米，根据勾股定理得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AM＝500米，MD＝500米，根据矩形的性质得到MD＝CE＝500米，MC＝DE＝500米，求得路线①：（米），路线②：（米），比较即可得到结论．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于点H，
在Rt△AHC中，∵∠HAC＝37°，，
设CH＝3x米，则AH＝4x米，
∴，
解得x＝200，
∴CH＝600米，AH＝800米，
在Rt△BHC中，∠BHC＝90°，∠HBC＝45°，
∴CH＝BH＝600米，
∴米，
答：BC的距离为米．
（2）在Rt△AMD中，∠M＝90°，∠ADM＝30°，
∵AD＝AC＝1000米，
∴AM500（米），MD＝500米，
∵四边形MDEC为矩形，
∴MD＝CE＝500米，MC＝DE＝500米，
路线①：（米），
路线②：（米），
∴2246＜2365，
∴选择路线①．
59．过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，如图是某过街天桥的截横面，桥顶AD平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为，CD长10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为AF，则斜面AF的坡角∠F＝30°，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.1m）（参考数据）
【思路点拔】（1）作DH⊥BC于点H，根据坡度的概念求出DH；
（2）过点A作AG⊥BC，根据坡角∠ABC的度数和铅直高DH的长求出水平宽BG、FG的长，进而可由FB＝FG﹣BG求得BF的长．
【解答】解：（1）作DH⊥BC于点H，如图1，
AD∥BC，
∵斜面CD的坡度为，
∴，
∴∠DCH＝30°，
∴cm，
答：点D到地面BC的距离为5m；
（2）作 AG⊥BC于点G，如图2，
∵天桥斜面AB的坡角∠ABC＝45°，
∴BG＝AG＝DH＝5cm，
∵斜面AF的坡角∠F＝30°，
∴tanF，
∴（cm），
∴FB＝FG﹣BG＝55≈3.7（m），
答：此改建需占路面的宽度FB的长约为3.7m．
60．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东30°方向A处原地不动．
（1）求此时巡逻船航行的距离BC的长；（保留整数，参考数据：，，）
（2）我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东75°方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号）
【思路点拔】（1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为E，F，根据题意得：AB＝40（海里），∠ABE＝45°，∠AEB＝∠AFC＝90°，∠ACF＝30°，证明四边形BCFE是矩形，解直角三角形求出AE，AF，即可解答；
（2）过点A作AH⊥BD，垂足为H，证明△ABC∽△DBA，求（海里），（海里），从而得到（海里），即可求解．
【解答】解：（1）如图1，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为E，F，
根据题意得：AB＝40（海里），∠ABE＝45°，∠AEB＝∠AFC＝90°，∠ACF＝30°，
∵BE⊥BD，CF⊥BD，
∴BE∥CF，
∵EF∥BD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵∠AEB＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC，
在Rt△ABE中，AE＝AB sin∠ABE＝4040（海里），
∴BE＝AE＝40（海里），
在Rt△ACF中，AF＝CF tan∠ACF＝4040（海里），
∴（海里），
∴（海里）；
（2）过点A作AH⊥BD，垂足为H，如图2，
根据题意得：∠DAH＝75°，
∵∠ABE＝45°，∠EBH＝90°，
∴∠ABH＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝45°，
∵CF⊥BD，AH⊥BD，
∴∠CAH＝∠ACF＝30°，
∴∠BAC＝∠BAH﹣∠CAH＝15°，
∵∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝15°，
∴∠D＝∠BAC，
∵∠ABD＝∠ABD，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
∵AC＝2AF＝80（海里），
∴，
∴（海里），（海里），
∴（（海里）），
则（海里/小时），
答：巡逻船的航行速度海里/小时．中小学教育资源及组卷应用平台
《解直角三角形的应用》同步提升训练题
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知AB为圆O直径，弦CD与直径AB相交于点F，且∠BAC＝30°，tan∠DAB＝3，直径AB长为10，则BF的长度为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，AC与BD交于点E．若AB＝AD＝10，，且BD＝4BE，则DE的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
4．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（　　）
A． B． C．1 D．
5．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，则OH的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
6．如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连结OC，若⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．BC＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COBm2 sinα
7．如图，⊙O的直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，，OE＝3，则sin∠CMD的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．
二．解答题（共52小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，求OH的长度．
10．如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，．
（1）求证：BE＝CD．
（2）求sin∠CMD．
11．某水渠的横断面是以AC为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，AB是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得∠BDA、∠BCA分别为60°，30°，已知AD＝1m．
（1）求AC的长；
（2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为MN，若的长为πm，求DN的长（tan27°）．
12．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
13．绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
14．货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
15．周末妈妈和小明在位于小明家A西北方向的书店B看书．回家时，小明想先沿BC去位于家A的正西方向、距家240米的菜鸟驿站C处取包裹，然后再沿CA回家；妈妈想先沿BD去位于家A的北偏西15°方向的干洗店取衣服，然后再沿DA回家．已知书店B位于菜鸟驿站C的北偏东15°方向、干洗店D的南偏西75°方向．（参考数据：1.41，1.73）
（1）求小明家与书店的距离AB（结果保留整数）；
（2）小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？
16．图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背BC＝70cm，将椅背角度从110°调节到150°（即∠ABC＝110°，∠ABD＝150°）时，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，求水平方向增加的距离EF长．（结果精确到lcm；参考数据：sin70°≈0.9，cos70°≈0.3，tan70°≈2.7，）
17．如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度AB的过程中，绘制了如图②的示意图．在C处用高为1.2m的测角仪CD测得塔顶端A的仰角为45°，再向黄龙塔方向前进到达距C处22m的E处，又测得塔顶端A的仰角为64°．求黄龙塔的高度AB（结果精确到1m）．
【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05】
18．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB＝2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO＝3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH＝60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：1.41，1.73）
19．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732）
20．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°；
方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64）
21．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为45°，沿着坡度的斜坡AE走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A、B、C、D在同一平面内．
（1）填空：∠EAG＝　 　°，∠ADB＝　 　°；
（2）求斜坡上点D到AG的距离；
（3）求大树BC的高度（结果精确到0.1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，）
22．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，连接AC交BD于点E，∠BAC＝∠ADB，且．
（1）求BD的长；
（2）若，求CD的长．
23．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的长度；
（2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离．
24．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
25．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
26．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，求乙建筑物的高CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
27．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：，）
（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．
28．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
29．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45）
30．如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝50m，，且∠ABC＝90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为50m，通过计算说明道路AB被监控到的最大范围为多少米．
31．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想．
（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长．
（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点F，旋转点O到点F的距离为20cm，嘉嘉看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，点O到点B的距离为25cm，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
32．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
33．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物AB与教学楼ED之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离EC＝22m．
某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为60°，教学楼顶D的仰角为45°，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为22°．
（Ⅰ）求教学楼ED的高；
（Ⅱ）设建筑物AB的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求建筑物AB的高度．（tan22°取0.40，取1.41，取1.73，结果取整数）
34．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）
35．太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
36．小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为30°，向楼房前行20m在B点处测得楼房顶端D点的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.6m（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数）
37．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：1.73）．
38．鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品位的大型综合性广场．其中，钟楼是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的A处测得塔顶P的仰角为45°，在某建筑物顶部B处，又测得塔顶P的仰角为38.7°，已知建筑物的总高度BC为5.2米，水平距离AC的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
39．第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）
40．如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
41．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图，李乐利用无人机测量教学楼的高度AB，无人机在空中点M处，测得点M距地面上C点30m，点C处的俯角为55°，距楼顶A点10m，点A处的俯角为30°，其中点A，B，C，M在同一平面内．若每层教学楼的高度为3.4m，楼顶加盖2m，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）
42．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
43．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；
（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）
44．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　 　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
45．如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）
46．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的7.00km处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：A点分别在B点的北偏东57°处、在C点的东北方向．
（1）试求出小岛码头A点到海岸线BC的距离；
（2）有一观光客轮K从B至A方向沿直线航行，某瞭望员在C处发现，客轮K刚好在正北方向的D处，当客轮航行至E处时，发现E点在C的北偏东27°处，请求出E点到C点的距离；
（注：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，结果精确到0.01km）
47．2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡BD的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD的高度为10米，火箭发射，雷达中心C测得火箭底端A点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至的M处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.96，tan14°≈0.25）
48．（1）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°；
（2）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．
49．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
50．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 　 　；
（2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　．
51．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；
（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm，求CD的长．（结果精确到1cm）
52．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
53．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．
54．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求∠ACB的度数．
55．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝30，BC＝20，，求AD的长．
56．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．
57．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6．求AB和AC的值．
58．为满足市民锻炼需求，我市在公园里的一条景观大道AC两侧开辟了两条长跑锻炼路线，如图，①A→B→C；②A→D→E→C．经测量A在C的正西方向，B在A的北偏东53°方向，C在B的南偏西8°方向，D在A的南偏东30°方向，E在D的正东方向且在C的正南方向，AD＝AC＝1000米．（参考数据：，，，，）
（1）求B，C的距离；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短的路线进行锻炼，请通过计算说明他应该选择线路①还是线路②？
59．过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，如图是某过街天桥的截横面，桥顶AD平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为，CD长10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为AF，则斜面AF的坡角∠F＝30°，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.1m）（参考数据）
60．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东30°方向A处原地不动．
（1）求此时巡逻船航行的距离BC的长；（保留整数，参考数据：，，）
（2）我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东75°方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号）