新疆兵地联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 新疆兵地联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 669.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 14:40:39 | ||
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文档简介
新疆兵地联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线过点,则直线的倾斜角
A. B. C. D.
2.平行线与间的距离为
A. B. C. D.
3.已知圆的圆心为C,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
4.已知向量,则在方向上的投影向量的模为
A. B. C. D.
5.“”是“方程表示椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在空间四边形OABC中,,且,则
A. B. C. D.
7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m的圆形区域，一名人员持手机以每分钟50m的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处,则这名人员被持续监测的时长约为
A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟
8.已知椭圆的右焦点为,过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于M,N两点,若E,F恰为线段MN的三等分点,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知椭圆,则
A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为
C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为
10.空间内有四点,则
A.点到直线EF的距离为 B.点到直线EF的距离为
C.点到平面EFN的距离为 D.点到平面EFN的距离为
11.已知圆与直线,点在圆上,点在直线上，则下列说法正确的是
A.若,则直线与圆相切 B.若圆上存在两点关于直线对称,则
C.若,则 D.若,从点向圆引切线,则切线长的最小值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线垂直于直线,且过点,则直线的斜截式方程为_____________；在轴上的截距为_____________.
13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于A,B两点,是椭圆的右焦点,则的周长为_____________.
14.在直三棱柱中,分别是的中点,,则BM与AN所成角的余弦值为_____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为,长轴长是短轴长的2倍;
(2)经过两点.
16.(15分)
如图,在四棱雉中,底面BCED为直角梯形,.
(1)判断直线AB与CD是否垂直,并说明理由;
(2)求平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值.
17.(15分)
已知直线.
(1)证明直线l过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若直线过(1)中的定点,且在y轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等,求直线的方程.
18.(17分)
如图,在棱长为2的正方体中,为BC的中点,点为底面ABCD内一动点（包括边界），且满足.
(1)是否存在点,使得平面
(2)求的取值范围.
(3)求点到直线的距离的最小值.
19.(17分)
已知圆经过三点.
(1)求圆的方程.
(2)已知直线与圆交于M,N(异于A点)两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,试问直线是否经过定点 若经过,求出该定点的坐标;若不经过,请说明理由.
高二数学试卷参考答案
1.C 设直线的斜率为,则,即.
因为,所以.
2.A 由平行线间的距离公式可得所求距离.
3.D 因为圆的圆心为,所以以OC为直径的圆的圆心为,半径为.故所求圆的标准方程为.
4.B 因为，所以，所以在方向上的投影向量的模为.
5.B 若方程表示椭圆,则解得且,所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
6.D .
7.C 如图，以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,
则直线,圆.记从处开始被监测,到处监测结束.因为到的距离为,所以,故被监测的时长为分钟.
8.A 不妨设切点,点均在第一象限,记椭圆的左焦点为,连接MG,OE(图略).由圆的几何性质可知.因为O,E分别为FG,FM的中点,所以,且.
由椭圆的定义可得.因为，所以整理可得,可得,所以椭圆的离心率.
9.AD 因为,且椭圆的焦点在轴上,所以椭圆的长轴长为,焦点坐标为,短半轴长为3,离心率.
10.AD 因为,所以EF的一个单位方向向量为.
因为,所以点到直线EF的距离为.
设平面EFN的法向量为,因为,
所以令,得.因为,所以点到平面EFN的距离为.
11.BC 圆的标准方程为,圆心为,半径.圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,故A不正确;若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，所以，得,故B正确;若,则圆心到直线的距离,所以,故C正确;若,从点向圆引切线,设一个切点为,连接CM(图略),则,则,当时,|CQ|取得最小值,此时|MQ|取得最小值,即,故D不正确.
12. 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为2.因为直线过点,所以直线的方程为,即,故直线的斜截式方程为,在轴上的截距为.
13. 因为,所以的周长为.
14. 如图,以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
不妨设,则.
因为,
所以.
15.解：（1）由题意知.…………………………………………………………………………2分
因为,所以.……………………………………………………………………………4分
因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.…………………………………………………6分
(2)设椭圆的方程为.……………………………………………………………………………8分
因为椭圆经过两点,所以…………………………10分
解得故椭圆的标准方程为.…………………………………………………………13分
16.解：（1）在直角梯形BCED中，，
则.
不妨设,
则在Rt中,………………………………………………………………2分
因为，所以………………………………………………………………3分
在中,,所以,即.………………………4分
因为，所以平面ACE，即两两垂直.…………………………………5分
以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则,………………………………………………………………6分
所以.…………………………………………………………………7分
因为,
所以直线AB不与CD垂直.……………………………………………………………………………………8分
(2)由(1)知.………………………………………………………………9分
设平面ACD的法向量为,
则令,得.………………………………………………………12分
平面ADE的一个法向量为.………………………………………………………………………13分
设平面ADE与平面ACD的夹角为,则,………………14分
所以平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值为.…………………………………………………………15分
17.(1)证明:将直线的方程整理为,…………………………………………2分
所以直线过直线与的交点,…...................……………………………….......3分
联立方程组解得……………………………………………………………………5分
所以直线过定点,其坐标为.……………………………………………………………………………6分
(2)解:①当截距为0时,直线的方程为,即.……………………………………………8分
②当截距不为0时，设直线的方程为，………………………………………………………10分
则解得或………………………………………………………………………12分
若则直线的方程为,即;…………………………………………………13分
若则直线的方程为.………………………………………………………………14分
故直线的方程为或或.……………………………………………15分
18.解:如图,以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,.……………………………………………………1分
设，则.…………………………………3分
因为,所以,即.………………………………4分
因为所以,即.……………………………………………5分
(1)设平面的法向量为，因为，
所以令,得,………………………………………………………7分
而,令,得,
所以存在点,使得平面.………………………………………………………………………9分
（2）因为,且,所以.……12分
（3）（方法一）因为，
所以在上的投影向量的模为.……………………………14分
设点到直线的距离为,
则,………………………………………16分
所以当时,点到直线的距离最小,最小值为.……………………………………………17分
（方法二）的轨迹的方向向量为,…………………………………………………………13分
的轨迹经过点,设的公垂线的方向向量为.
因为，
所以令,得.………………………………………………15分
因为,所以点到直线的距离的最小值为.……………17分
19.解：（1）设圆的方程为，…………………………………………………1分
则解得………………………………………………………………4分
故圆的方程为.……………………………………………………………………………5分
(2)若直线的斜率不存在，设直线的方程为，
则，整理得.
又,解得,所以直线的方程为,此时直线经过点,不符合题意.…………………………………………………………………………………………………………………7分
若直线的斜率存在,设直线的方程为.
联立方程组整理得,…………………………………9分
则.……………………………………………11分
因为
,……………………13分
所以,
整理得,解得或.………15分
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，舍去，所以，……………………………………16分
故直线的方程为，即，经过定点.
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为.…………………………………………………17分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线过点,则直线的倾斜角
A. B. C. D.
2.平行线与间的距离为
A. B. C. D.
3.已知圆的圆心为C,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
4.已知向量,则在方向上的投影向量的模为
A. B. C. D.
5.“”是“方程表示椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在空间四边形OABC中,,且,则
A. B. C. D.
7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m的圆形区域，一名人员持手机以每分钟50m的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处,则这名人员被持续监测的时长约为
A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟
8.已知椭圆的右焦点为,过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于M,N两点,若E,F恰为线段MN的三等分点,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知椭圆,则
A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为
C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为
10.空间内有四点,则
A.点到直线EF的距离为 B.点到直线EF的距离为
C.点到平面EFN的距离为 D.点到平面EFN的距离为
11.已知圆与直线,点在圆上,点在直线上，则下列说法正确的是
A.若,则直线与圆相切 B.若圆上存在两点关于直线对称,则
C.若,则 D.若,从点向圆引切线,则切线长的最小值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线垂直于直线,且过点,则直线的斜截式方程为_____________；在轴上的截距为_____________.
13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于A,B两点,是椭圆的右焦点,则的周长为_____________.
14.在直三棱柱中,分别是的中点,,则BM与AN所成角的余弦值为_____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为,长轴长是短轴长的2倍;
(2)经过两点.
16.(15分)
如图,在四棱雉中,底面BCED为直角梯形,.
(1)判断直线AB与CD是否垂直,并说明理由;
(2)求平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值.
17.(15分)
已知直线.
(1)证明直线l过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若直线过(1)中的定点,且在y轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等,求直线的方程.
18.(17分)
如图,在棱长为2的正方体中,为BC的中点,点为底面ABCD内一动点（包括边界），且满足.
(1)是否存在点,使得平面
(2)求的取值范围.
(3)求点到直线的距离的最小值.
19.(17分)
已知圆经过三点.
(1)求圆的方程.
(2)已知直线与圆交于M,N(异于A点)两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,试问直线是否经过定点 若经过,求出该定点的坐标;若不经过,请说明理由.
高二数学试卷参考答案
1.C 设直线的斜率为,则,即.
因为,所以.
2.A 由平行线间的距离公式可得所求距离.
3.D 因为圆的圆心为,所以以OC为直径的圆的圆心为,半径为.故所求圆的标准方程为.
4.B 因为，所以，所以在方向上的投影向量的模为.
5.B 若方程表示椭圆,则解得且,所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
6.D .
7.C 如图，以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,
则直线,圆.记从处开始被监测,到处监测结束.因为到的距离为,所以,故被监测的时长为分钟.
8.A 不妨设切点,点均在第一象限,记椭圆的左焦点为,连接MG,OE(图略).由圆的几何性质可知.因为O,E分别为FG,FM的中点,所以,且.
由椭圆的定义可得.因为，所以整理可得,可得,所以椭圆的离心率.
9.AD 因为,且椭圆的焦点在轴上,所以椭圆的长轴长为,焦点坐标为,短半轴长为3,离心率.
10.AD 因为,所以EF的一个单位方向向量为.
因为,所以点到直线EF的距离为.
设平面EFN的法向量为,因为,
所以令,得.因为,所以点到平面EFN的距离为.
11.BC 圆的标准方程为,圆心为,半径.圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,故A不正确;若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，所以，得,故B正确;若,则圆心到直线的距离,所以,故C正确;若,从点向圆引切线,设一个切点为,连接CM(图略),则,则,当时,|CQ|取得最小值,此时|MQ|取得最小值,即,故D不正确.
12. 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为2.因为直线过点,所以直线的方程为,即,故直线的斜截式方程为,在轴上的截距为.
13. 因为,所以的周长为.
14. 如图,以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
不妨设,则.
因为,
所以.
15.解：（1）由题意知.…………………………………………………………………………2分
因为,所以.……………………………………………………………………………4分
因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.…………………………………………………6分
(2)设椭圆的方程为.……………………………………………………………………………8分
因为椭圆经过两点,所以…………………………10分
解得故椭圆的标准方程为.…………………………………………………………13分
16.解：（1）在直角梯形BCED中，，
则.
不妨设,
则在Rt中,………………………………………………………………2分
因为，所以………………………………………………………………3分
在中,,所以,即.………………………4分
因为，所以平面ACE，即两两垂直.…………………………………5分
以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则,………………………………………………………………6分
所以.…………………………………………………………………7分
因为,
所以直线AB不与CD垂直.……………………………………………………………………………………8分
(2)由(1)知.………………………………………………………………9分
设平面ACD的法向量为,
则令,得.………………………………………………………12分
平面ADE的一个法向量为.………………………………………………………………………13分
设平面ADE与平面ACD的夹角为,则,………………14分
所以平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值为.…………………………………………………………15分
17.(1)证明:将直线的方程整理为,…………………………………………2分
所以直线过直线与的交点,…...................……………………………….......3分
联立方程组解得……………………………………………………………………5分
所以直线过定点,其坐标为.……………………………………………………………………………6分
(2)解:①当截距为0时,直线的方程为,即.……………………………………………8分
②当截距不为0时，设直线的方程为，………………………………………………………10分
则解得或………………………………………………………………………12分
若则直线的方程为,即;…………………………………………………13分
若则直线的方程为.………………………………………………………………14分
故直线的方程为或或.……………………………………………15分
18.解:如图,以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,.……………………………………………………1分
设，则.…………………………………3分
因为,所以,即.………………………………4分
因为所以,即.……………………………………………5分
(1)设平面的法向量为，因为，
所以令,得,………………………………………………………7分
而,令,得,
所以存在点,使得平面.………………………………………………………………………9分
（2）因为,且,所以.……12分
（3）（方法一）因为，
所以在上的投影向量的模为.……………………………14分
设点到直线的距离为,
则,………………………………………16分
所以当时,点到直线的距离最小,最小值为.……………………………………………17分
（方法二）的轨迹的方向向量为,…………………………………………………………13分
的轨迹经过点,设的公垂线的方向向量为.
因为，
所以令,得.………………………………………………15分
因为,所以点到直线的距离的最小值为.……………17分
19.解：（1）设圆的方程为，…………………………………………………1分
则解得………………………………………………………………4分
故圆的方程为.……………………………………………………………………………5分
(2)若直线的斜率不存在，设直线的方程为，
则，整理得.
又,解得,所以直线的方程为,此时直线经过点,不符合题意.…………………………………………………………………………………………………………………7分
若直线的斜率存在,设直线的方程为.
联立方程组整理得,…………………………………9分
则.……………………………………………11分
因为
,……………………13分
所以,
整理得,解得或.………15分
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，舍去，所以，……………………………………16分
故直线的方程为，即，经过定点.
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为.…………………………………………………17分