2024-2025学年高三上学期数学模拟卷2（含解析）

【一模卷】高三数学精选模拟（人教A版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知集合，，则以下结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
2. （5分）复数的共轭复数为，则（　　）
A. B. C. D.
3. （5分）若，且，则（　　）
A. B. C. D.
4. （5分）若所有棱长都是的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　）．
A. B. C. D.
5. （5分）年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，，，，，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（　）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. （5分）某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续周的量化打分不低于分，则为优秀班级．下列能断定该班为优秀班级的是（　　）
A. 某班连续周量化打分的平均数为，中位数为
B. 某班连续周量化打分的平均数为，方差大于
C. 某班连续周量化打分的中位数为，众数为
D. 某班连续周量化打分的平均数为，方差为
7. （5分）抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（　）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知直线：既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数的零点个数为（　）．
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题（共3题，共 18 分）
9. （6分）如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交边于点，则下列结论正确的有（　　）．
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
10. （6分）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（　）．
A. B.
C. 数列是等差数列 D. 数列的前项和
11. （6分）若，则（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题（共3题，共 15 分）
12. （5分）函数的定义域是 　　　　 ．
13. （5分）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过，，的平面交上底面于，在上，则 　　　　 ．
14. （5分）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 　　　　 ；为的内心，，，三点共线，且，轴上点，满足，，则的最小值为 　　　　 ．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15. 甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛，已知每局比赛，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ．
（1）（5分）求甲赢得比赛的概率；
（2）（8分）求两人比赛局数的数学期望．
16. 如图，三棱柱中，与均是边长为的正三角形，且．
（1）（6分）证明：平面平面．
（2）（9分）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17. 如图，在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）（6分）求面积的最大值；
（2）（9分）若边上的点满足，求线段长的最大值．
18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆相交于点，且．
（1）（6分）求椭圆的方程．
（2）（11分）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且．若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求的取值范围．
19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，，，，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）（4分）若，求数列的最小项．
（2）（5分）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（3）（8分）若，求证：数列具有性质．
参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】B
【解析】由题意得，
所以，，，不是的子集，
故选：．
2【答案】A
【解析】由题意，，
而，
所以，
则．
故选：．
3【答案】C
【解析】由，
得．
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：．
4【答案】C
【解析】由题意可知：正三棱柱的上下底面中心的连线的中点就是外接球的球心，在底面三角形中，底面中心到顶点的距离为：，
所以外接球的半径为：．
所以外接球的表面积为：．
故选：．
5【答案】A
【解析】将车与车捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将除车外的个元素全排列，有种排法，
将车插入，不与车相邻，有种插法，
故共有种排法．
故选．
6【答案】D
【解析】若连续周的量化打分数据为，满足的条件，但第周的打分低于分，故，错误；
若连续周的量化打分数据为，满足的条件，但第周的打分低于分，错误；
根据方差公式，
因为方差为，
所以若存在一周的量化打分低于分，则方差一定大于，故能断定该班为优秀班级，正确．
故选：．
7【答案】D
【解析】由抛物线方程知：，准线．
过作，垂足为，
由抛物线定义知：，
∴．
则当，，三点共线时，取得最小值，即图中的，
∵，
∴，解得：．
又在抛物线内侧，
∴，解得：．
∴实数的取值范围为．
故选．
8【答案】B
【解析】设是函数图象的切点，则，（1），
又（2），
将（1）代入（2）消去整理得：，，
设是函数的切点，
据题意，
又，
故，
令，
，
故在定义域上为增函数，
又，故，故，
，在上是增函数，
当时，；
当时，．
由零点存在性定理可得，存在唯一一个，
所以函数的零点个数是，
故选：．
二、多选题（共3题，共 18 分）
9【答案】A C
【解析】A 选项：，故正确；B 选项：设，则由，，
故，
因为，，三点共线，故，解得，
故，
故，
所以，
即，故错误；C 选项：由余弦定理，，
由有，
故，
即，
所以，故正确；D 选项：在中，，，
故，故错误；故选 AC.
10【答案】A B D
【解析】对于选项，，选项正确；
对于选项，当且时，，选项正确；
对于选项，令，
则，，
当且时，，
因为当且时，，，
所以数列不是等差数列，选项错误；
对于选项，当时，，
当且时，，
此时，
，
综上所述，对任意的，，选项正确．
故选．
11【答案】B C
【解析】A 选项：令且，
则，当且仅当时等号成立，
故导函数恒大于，故在定义域上递增，则，即，
所以，错误；B 选项：令且，则，
故在定义域上递增，则，即，
所以，则，
即，正确；C 选项：令且，
则，故在定义域上递增，
则，即，所以，
则，正确；D 选项：当时，，错误．故选 BC.
三、填空题（共3题，共 15 分）
12【答案】
【解析】由题意得：
，
解得：或，
故答案为：．
13【答案】
【解析】平面，平面平面，平面，
，易知，
故．
因此正确答案为：．
14【答案】
【解析】①通过题意得椭圆与双曲线的焦距为，
椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得，
由椭圆的定义，得，可得：
，
又，
由余弦定理得：，
即，
整理得：，
所以：；
②为的内心，
所以为的角平分线，则有，
同理：，
所以，
所以，
即，
因为，
所以，
故，为的内心，，，三点共线，
即为的角平分线，
由，知，
又平分，可得出是的外角平分线，
则有，
又，
所以，即，
因为，
所以，
故，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
因此正确答案为：，．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15（1）【答案】
【解析】由已知可得，甲赢得比赛的情况有以下三种
①情况一：比赛三局且甲均获胜，其概率为；
②情况二：比赛四局，甲前三局胜两局，输一局，第四局甲获胜，
其的概率为：；
③情况三：比赛五局，甲前四局胜两局，输两局，第五局甲获胜，
其概率为．
综上，甲获胜的概率为．
15（2）【答案】
【解析】设两人比赛局数为，则随机变量的可能取值为，，，
，
，
，
则随机变量的数学期望．
16（1）【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，
∵与均是边长为的正三角形，
∴，，．
∴为二面角的平面角．
∵，
∴．
∴，
又∵，， ，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面．
16（2）【答案】
【解析】由（）知，，，．
以为坐标原点，，，的正方向分别为轴，轴，轴正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，，．
设平面的法向量为．
由，得．
令，得．
设平面的法向量为．
由得．
令，得．
∴．
∴所求锐二面角的余弦值为．
17（1）【答案】
【解析】由余弦定理得：，
所以，
，当且仅当时取“”，
，
面积的最大值为．
17（2）【答案】
【解析】由，可得：，
即，
故，
，
而，
，
令，，
令，．
而为锐角三角形，
，
，
，当且仅当时取“”，
．
18（1）【答案】
【解析】通过题意，双曲线的焦点为，，
双曲线与椭圆有相同焦点且在第一象限的交点为，
，
，．
，，
，
椭圆的方程为．
18（2）【答案】
【解析】设，，
则．
四边形为平行四边形，
，．
点，，均在椭圆上，
，，．
，
，
．
由消去，
得，
显然，
，，
，
，
因为，
所以，
即，
所以，
即，
．
19（1）【答案】最小项为
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
19（2）【答案】数列具有性质，理由见解析．
【解析】数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
，
，
为单调递增数列，
数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
19（3）【答案】证明见解析．
【解析】．
当时，
，
则，
数列满足条件①．
（，等号取不到）
，
为单调递增数列，
数列满足条件②．
综上，数列具有性质．