2.3.4两条平行直线间的距离 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 2.3.4两条平行直线间的距离 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 108.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 14:56:14 | ||
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文档简介
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.直线y=x与直线y=x+1间的距离等于 ( )
A. B.
C.1 D.
2.[2024·福建泉州高二期中] 已知直线l1:3x-y+3=0与l2:3x-y+C=0之间的距离为,则C= ( )
A.13 B.13或-7
C.7 D.7或-13
3.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B.
C.3 D.6
4.[2024·广东东莞七校高二期中] 直线2x+(m+1)y-2=0与直线mx+3y-2=0平行,那么两平行线之间的距离是 ( )
A.0 B.
C. D.
5.(多选题)[2024·四川内江高二期中] 下列直线中,与直线l:y=2x-1平行且与l间的距离为2的是 ( )
A.2x-y+9=0
B.2x-y-11=0
C.2x-y-12=0
D.2x-y+10=0
6.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C= .
7.已知直线l1的方程为3x+4y-2=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1的斜率为 ,直线l1与直线l2间的距离为 .
8.已知直线x-2y+3=0与直线3x+y+2=0交于点P,求过点P且平行于直线3x+4y-5=0的直线l1的方程,并求两平行线之间的距离.
9.[2024·陕西榆林五校高二期中] 在梯形ABCD中,|CD|=2|AB|=6,且边AB和CD所在直线的方程分别是x+2y-3=0与x+2y+7=0,则梯形ABCD的面积为 ( )
A. B.9
C. D.45
10.[2024·四川凉山高二期中] 已知点P是直线l:3x-y-6=0与x轴的交点,直线l绕点P按逆时针方向旋转45°得到直线l1,则l1与直线4x+2y+1=0之间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 已知直线l1:ax+2y-1=0和直线l2:x+(a+1)y-1=0,下列说法错误的是 ( )
A.当a=-2或1时,l1∥l2
B.当a=-时,l1⊥l2
C.直线l1过定点(0,1),直线l2过定点(1,0)
D.当l1∥l2时,两直线间的距离为
12.(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的可能取值为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
13.已知直线l1:3x-2y-1=0,直线l2:3x-2y-13=0,直线l与l1,l2的距离分别为d1,d2,若d1∶d2=1∶2,则直线l的方程为 .
14.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为2x+3y+2=0和2x+3y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为6x-4y+c1=0和6x-4y+c2=0,则|c1-c2|= .
15.[2024·山东济宁高二期中] 已知直线l1:(a-1)x+ay+1=0,直线l2:2ax-(a+2)y-4=0.
(1)当l1⊥l2时,求两直线的交点坐标;
(2)当l1∥l2时,求两直线间的距离.
16.已知△ABC的边AB所在直线的方程是x+y-3=0,边AC所在直线的方程是x-2y+3=0,边BC所在直线的方程是2x-y-3=0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
17.若直线m被两平行直线l1:x-y+=0与l2:x-y+3=0所截得的线段长为,则直线m的倾斜角可以是 ( )
A.30° B.75°
C.135° D.145°
18.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1和l2之间的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限内的点;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶
若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.B [解析] ∵直线y=x与直线y=x+1平行,∴直线y=x与直线y=x+1间的距离为=.故选B.
2.B [解析] 由题知l1∥l2,所以=,解得C=13或-7.故选B.
3.C [解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得两条平行线间的距离d==3,故|PQ|的最小值为3.
4.B [解析] 由题知2×3-m(m+1)=0且2×(-2)-(-2)×m≠0,解得m=-3,则两直线方程分别为2x-2y-2=0,-3x+3y-2=0,即x-y-1=0,x-y+=0,故两平行线之间的距离为=.故选B.
5.AB [解析] 设与直线l:y=2x-1平行的直线的方程为2x-y+a=0,由题意可得=2,解得a=9或-11,故所求直线的方程为2x-y+9=0或2x-y-11=0.故选AB.
6.11或-15 [解析] 由Ax-2y-1=0得2Ax-4y-2=0,∵直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0平行,∴2A=6,解得A=3.∵直线6x-4y-2=0与6x-4y+C=0之间的距离为,∴=,解得C=11或-15.
7.- [解析] 直线l1的方程为3x+4y-2=0,即y=-x+,故直线l1的斜率为-.直线l1的方程可化为6x+8y-4=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与直线l2间的距离d==.
8.解:由解得所以P(-1,1).设直线l1的方程为3x+4y+λ=0(λ≠-5),将点P的坐标代入,得λ=-1,所以直线l1的方程为3x+4y-1=0.两平行线之间的距离d==.
9.B [解析] 由直线AB:x+2y-3=0,直线CD:x+2y+7=0,知AB∥CD,所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d==2,所以梯形ABCD的面积为(|AB|+|CD|)·d=×(3+6)×2=9.故选B.
10.D [解析] 在3x-y-6=0中,令y=0,得x=2,即P(2,0).设直线l的倾斜角为α,可得tan α=3,则tan(α+45°)===-2,即直线l1的斜率为-2,所以直线l1的方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0.直线4x+2y+1=0的斜率为-2,则直线l1与直线4x+2y+1=0平行,则l1与直线4x+2y+1=0之间的距离为d==.故选D.
11.ACD [解析] 对于A,若l1∥l2,则a(a+1)-2=0且a×(-1)-(-1)×1≠0,解得a=-2,故A中说法错误;对于B,若l1⊥l2,则a+2(a+1)=0,解得a=-,故B中说法正确;对于C,直线l1过定点,直线l2过定点(1,0),故C中说法错误;对于D,当l1∥l2时,a=-2,直线l1:-2x+2y-1=0,直线l2:x-y-1=0,即-2x+2y+2=0,所以两直线间的距离为=,故D中说法错误.故选ACD.
12.ABC [解析] 当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|==5,所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5].故选ABC.
13.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0 [解析] 设直线l的方程为3x-2y+c=0,由平行线间的距离公式可得2|c+1|=|c+13|,解得c=11或c=-5,∴直线l的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0.
14.4 [解析] 直线2x+3y+2=0与直线2x+3y+4=0之间的距离d1==,直线6x-4y+c1=0与直线6x-4y+c2=0之间的距离d2==|c1-c2|,由题可知d1=d2,即=|c1-c2|,解得|c1-c2|=4.
15.解:(1)当l1⊥l2时,(a-1)×2a+a×[-(a+2)]=0,解得a=0或a=4.当a=0时,l1:-x+1=0,l2:-2y-4=0,即l1:x=1,l2:y=-2,所以两直线的交点坐标为(1,-2).当a=4时,l1:3x+4y+1=0,l2:8x-6y-4=0,即l1:3x+4y+1=0,l2:4x-3y-2=0,由解得所以两直线的交点坐标为.综上,两直线的交点坐标为(1,-2)或.
(2)当l1∥l2时,(a-1)×[-(a+2)]=a×(2a)且(a-1)×(-4)≠2a,解得a=-1,此时l1:-2x-y+1=0,l2:-2x-y-4=0,两直线间的距离为=.
16.B [解析] 联立直线方程,易得A(1,2),B(2,1),C(3,3).如图所示,当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是过A,B两点的平行直线间的距离的最小值.易得|AB|=,故两条平行直线间的距离的最小值是.
17.B [解析] 如图,设直线m与两平行直线所成的角为α.两平行直线l1:x-y+=0与l2:x-y+3=0间的距离d==,因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为,所以sin α==,所以α=45°.因为直线l1的斜率k=,所以直线l1的倾斜角为30°,所以直线m的倾斜角是75°或165°.故选B.
18.解:(1)4x-2y-1=0可化为2x-y-=0,因为l1和l2之间的距离是,所以=,解得a=3或a=-4,又a>0,所以a=3.
(2)假设存在点P(x0,y0)满足题意,因为点P到l1的距离是点P到l2的距离的,所以点P在与l1,l2平行的直线l'上,设l'的方程为2x-y+c=0,则=·,解得c=或c=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.因为点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶,所以=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.因为点P在第一象限内,所以3x0+2=0不成立.由解得此时点P不在第一象限内,舍去;由解得符合题意.综上,能找到一点P满足题意,且点P.
1.直线y=x与直线y=x+1间的距离等于 ( )
A. B.
C.1 D.
2.[2024·福建泉州高二期中] 已知直线l1:3x-y+3=0与l2:3x-y+C=0之间的距离为,则C= ( )
A.13 B.13或-7
C.7 D.7或-13
3.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B.
C.3 D.6
4.[2024·广东东莞七校高二期中] 直线2x+(m+1)y-2=0与直线mx+3y-2=0平行,那么两平行线之间的距离是 ( )
A.0 B.
C. D.
5.(多选题)[2024·四川内江高二期中] 下列直线中,与直线l:y=2x-1平行且与l间的距离为2的是 ( )
A.2x-y+9=0
B.2x-y-11=0
C.2x-y-12=0
D.2x-y+10=0
6.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C= .
7.已知直线l1的方程为3x+4y-2=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1的斜率为 ,直线l1与直线l2间的距离为 .
8.已知直线x-2y+3=0与直线3x+y+2=0交于点P,求过点P且平行于直线3x+4y-5=0的直线l1的方程,并求两平行线之间的距离.
9.[2024·陕西榆林五校高二期中] 在梯形ABCD中,|CD|=2|AB|=6,且边AB和CD所在直线的方程分别是x+2y-3=0与x+2y+7=0,则梯形ABCD的面积为 ( )
A. B.9
C. D.45
10.[2024·四川凉山高二期中] 已知点P是直线l:3x-y-6=0与x轴的交点,直线l绕点P按逆时针方向旋转45°得到直线l1,则l1与直线4x+2y+1=0之间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 已知直线l1:ax+2y-1=0和直线l2:x+(a+1)y-1=0,下列说法错误的是 ( )
A.当a=-2或1时,l1∥l2
B.当a=-时,l1⊥l2
C.直线l1过定点(0,1),直线l2过定点(1,0)
D.当l1∥l2时,两直线间的距离为
12.(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的可能取值为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
13.已知直线l1:3x-2y-1=0,直线l2:3x-2y-13=0,直线l与l1,l2的距离分别为d1,d2,若d1∶d2=1∶2,则直线l的方程为 .
14.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为2x+3y+2=0和2x+3y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为6x-4y+c1=0和6x-4y+c2=0,则|c1-c2|= .
15.[2024·山东济宁高二期中] 已知直线l1:(a-1)x+ay+1=0,直线l2:2ax-(a+2)y-4=0.
(1)当l1⊥l2时,求两直线的交点坐标;
(2)当l1∥l2时,求两直线间的距离.
16.已知△ABC的边AB所在直线的方程是x+y-3=0,边AC所在直线的方程是x-2y+3=0,边BC所在直线的方程是2x-y-3=0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
17.若直线m被两平行直线l1:x-y+=0与l2:x-y+3=0所截得的线段长为,则直线m的倾斜角可以是 ( )
A.30° B.75°
C.135° D.145°
18.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1和l2之间的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限内的点;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶
若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.B [解析] ∵直线y=x与直线y=x+1平行,∴直线y=x与直线y=x+1间的距离为=.故选B.
2.B [解析] 由题知l1∥l2,所以=,解得C=13或-7.故选B.
3.C [解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得两条平行线间的距离d==3,故|PQ|的最小值为3.
4.B [解析] 由题知2×3-m(m+1)=0且2×(-2)-(-2)×m≠0,解得m=-3,则两直线方程分别为2x-2y-2=0,-3x+3y-2=0,即x-y-1=0,x-y+=0,故两平行线之间的距离为=.故选B.
5.AB [解析] 设与直线l:y=2x-1平行的直线的方程为2x-y+a=0,由题意可得=2,解得a=9或-11,故所求直线的方程为2x-y+9=0或2x-y-11=0.故选AB.
6.11或-15 [解析] 由Ax-2y-1=0得2Ax-4y-2=0,∵直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0平行,∴2A=6,解得A=3.∵直线6x-4y-2=0与6x-4y+C=0之间的距离为,∴=,解得C=11或-15.
7.- [解析] 直线l1的方程为3x+4y-2=0,即y=-x+,故直线l1的斜率为-.直线l1的方程可化为6x+8y-4=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与直线l2间的距离d==.
8.解:由解得所以P(-1,1).设直线l1的方程为3x+4y+λ=0(λ≠-5),将点P的坐标代入,得λ=-1,所以直线l1的方程为3x+4y-1=0.两平行线之间的距离d==.
9.B [解析] 由直线AB:x+2y-3=0,直线CD:x+2y+7=0,知AB∥CD,所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d==2,所以梯形ABCD的面积为(|AB|+|CD|)·d=×(3+6)×2=9.故选B.
10.D [解析] 在3x-y-6=0中,令y=0,得x=2,即P(2,0).设直线l的倾斜角为α,可得tan α=3,则tan(α+45°)===-2,即直线l1的斜率为-2,所以直线l1的方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0.直线4x+2y+1=0的斜率为-2,则直线l1与直线4x+2y+1=0平行,则l1与直线4x+2y+1=0之间的距离为d==.故选D.
11.ACD [解析] 对于A,若l1∥l2,则a(a+1)-2=0且a×(-1)-(-1)×1≠0,解得a=-2,故A中说法错误;对于B,若l1⊥l2,则a+2(a+1)=0,解得a=-,故B中说法正确;对于C,直线l1过定点,直线l2过定点(1,0),故C中说法错误;对于D,当l1∥l2时,a=-2,直线l1:-2x+2y-1=0,直线l2:x-y-1=0,即-2x+2y+2=0,所以两直线间的距离为=,故D中说法错误.故选ACD.
12.ABC [解析] 当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|==5,所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5].故选ABC.
13.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0 [解析] 设直线l的方程为3x-2y+c=0,由平行线间的距离公式可得2|c+1|=|c+13|,解得c=11或c=-5,∴直线l的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0.
14.4 [解析] 直线2x+3y+2=0与直线2x+3y+4=0之间的距离d1==,直线6x-4y+c1=0与直线6x-4y+c2=0之间的距离d2==|c1-c2|,由题可知d1=d2,即=|c1-c2|,解得|c1-c2|=4.
15.解:(1)当l1⊥l2时,(a-1)×2a+a×[-(a+2)]=0,解得a=0或a=4.当a=0时,l1:-x+1=0,l2:-2y-4=0,即l1:x=1,l2:y=-2,所以两直线的交点坐标为(1,-2).当a=4时,l1:3x+4y+1=0,l2:8x-6y-4=0,即l1:3x+4y+1=0,l2:4x-3y-2=0,由解得所以两直线的交点坐标为.综上,两直线的交点坐标为(1,-2)或.
(2)当l1∥l2时,(a-1)×[-(a+2)]=a×(2a)且(a-1)×(-4)≠2a,解得a=-1,此时l1:-2x-y+1=0,l2:-2x-y-4=0,两直线间的距离为=.
16.B [解析] 联立直线方程,易得A(1,2),B(2,1),C(3,3).如图所示,当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是过A,B两点的平行直线间的距离的最小值.易得|AB|=,故两条平行直线间的距离的最小值是.
17.B [解析] 如图,设直线m与两平行直线所成的角为α.两平行直线l1:x-y+=0与l2:x-y+3=0间的距离d==,因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为,所以sin α==,所以α=45°.因为直线l1的斜率k=,所以直线l1的倾斜角为30°,所以直线m的倾斜角是75°或165°.故选B.
18.解:(1)4x-2y-1=0可化为2x-y-=0,因为l1和l2之间的距离是,所以=,解得a=3或a=-4,又a>0,所以a=3.
(2)假设存在点P(x0,y0)满足题意,因为点P到l1的距离是点P到l2的距离的,所以点P在与l1,l2平行的直线l'上,设l'的方程为2x-y+c=0,则=·,解得c=或c=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.因为点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶,所以=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.因为点P在第一象限内,所以3x0+2=0不成立.由解得此时点P不在第一象限内,舍去;由解得符合题意.综上,能找到一点P满足题意,且点P.