2.3.3 点到直线的距离公式
1. 点P(x0,y0)到直线x=1的距离为1,则x0的值为 ( )
A.0或2 B.1或2
C.0 D.2
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为 ( )
A.1 B.
C.2 D.
3.[2024·河北石家庄部分学校高二期中] 若点P(1,3)到直线l:4x+3y+a=0(a>0)的距离为3,则a= ( )
A.2 B.3
C. D.4
4.[2024·浙江金华一中高二期中] “点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等”是“a=-2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知直线过点A(1,2),且原点到这条直线的距离为1,则这条直线的方程是 ( )
A.3x-4y+5=0或x=1
B.4x-3y+5=0或y=1
C.3x-4y+5=0或y=1
D.4x-3y+5=0或x=1
6.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是 .
7.已知点P(1,1),点Q是直线2x-y+1=0上的动点,则|PQ|的最小值为 .
8. 已知△ABC的三个顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,3).
(1)求AC的垂直平分线的一般式方程;
(2)求△ABC的面积.
9.已知点P(1,2),向量m=(-,1),过点P作以向量m为方向向量的直线l,则点A(3,1)到直线l的距离为 ( )
A.-1 B.2+
C.1- D.2-
10.直线l:3x-4y-27=0上到点P(2,1)的距离最近的点的坐标是 ( )
A.(1,-6) B.
C.(5,-3) D.
11.[2024·石家庄十八中高二月考] 已知点A(0,4),倾斜角为45°的直线l经过点B(2,0),M是直线l上一点,若△ABM的面积为3,则|BM|= ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
12.(多选题)[2024·安徽宿州高二期中] 已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是 ( )
A.x-y-1=0 B.y=5
C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0
13.[2024·河南驻马店高二期中] 已知直线l过点C(3,4),且A(1,1),B(-1,3)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程为 .
14.在平面直角坐标系内,点(1,2)到直线l的距离为1,点(3,1)到直线l的距离为2,则满足条件的直线l共有 条.
15.已知△ABC的一个顶点为B(2,3),边BC上的中线AP所在直线的方程为x+9y+6=0,边AB上的高CH所在直线的方程为8x+3y-17=0.
(1)求顶点A的坐标;
(2)求点A到直线BC的距离.
16.(多选题)如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是 ( )
A.距离坐标为(0,0)的点P有1个
B.距离坐标为(0,1)的点P有2个
C.距离坐标为(1,2)的点P有4个
D.距离坐标为(x,x)的点P在一条直线上
17.(多选题)[2024·沈阳高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,已知点M(1,3),N(-1,1),直线l:x-y+1=0,点P(x,y)为直线l上任意一点,则下列说法正确的是 ( )
A.直线MN与直线l平行
B.若直线m过点(0,3)且M,N两点到直线m的距离相等,则这样的直线m有2条
C.存在点P,使得|OP|=
D.|PM|+|PN|的最小值为
18.某工厂M(看作一点)位于两公路(看作两条直线)OA与OB之间.已知M到公路OA的距离是9千米,到公路OB的距离是18千米,∠AOB=60°.以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求直线OB的方程;
(2)现紧邻工厂M修建一直线公路连接公路OA和OB,与OA的连接点为C,与OB的连接点为D,若M恰为该路段CD的中点,求CD的长度.
2.3.3 点到直线的距离公式
1.A [解析] 因为点P(x0,y0)到直线x=1的距离为1,所以|x0-1|=1,解得 x0=0 或x0=2.故选A.
2.D [解析] 由点到直线的距离公式可知所求距离d==.故选D.
3.A [解析] 由点到直线的距离公式知,===3(a>0),解得a=2,故选A.
4.B [解析] 若点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则=,解得a=-2或a=-1,∴“点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等”是“a=-2”的必要不充分条件.故选B.
5.A [解析] 当直线的斜率不存在时,其方程为x=1,原点到这条直线的距离为1,符合题意;当直线的斜率存在时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,∵原点到这条直线的距离为1,∴=1,解得k=,∴直线的方程是x-y+2-=0,即3x-4y+5=0.综上,这条直线的方程是3x-4y+5=0或x=1.故选A.
6.8 [解析] x2+y2表示直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值为原点到该直线的距离的平方,所以(x2+y2)min==8.
7. [解析] |PQ|的最小值等于点P到直线2x-y+1=0的距离,为=.
8.解:(1)根据中点坐标公式,得线段AC的中点坐标为,又直线AC的斜率kAC=-,所以AC的垂直平分线的斜率为,其方程为y= +1,化成一般式方程为6x-8y-13=0.
(2)由(1)可得直线AC的方程为y=- (x-2)+3,整理得4x+3y-17=0,所以点B(1,1)到直线AC的距离d==2,又|AC|==5,故△ABC的面积为|AC|·d=5.
9.C [解析] 由题可知直线l的斜率为-,故直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-2-1=0,所以点A(3,1)到直线l的距离d==1-.故选C.
10.C [解析] 根据题意可知,所求点即为过P且垂直于直线l的直线与直线l的交点,因为直线l:3x-4y-27=0的斜率为,所以过P且垂直于直线l的直线的斜率为-,又P(2,1),所以该直线的方程为y-1=-(x-2),即4x+3y-11=0.由解得所以所求点的坐标是(5,-3).故选C.
11.B [解析] 由题意可知,直线l的方程为x-y-2=0,点A(0,4)到直线l的距离d==3,所以S△ABM=×|BM|×3=3,解得|BM|=2.故选B.
12.AC [解析] 由题意知,“切割型直线”需满足点M(5,0)到直线的距离小于或等于4.A中,点M(5,0)到直线x-y-1=0的距离为=2<4,故A符合题意;B中,点M(5,0)到直线y=5的距离为5>4,故B不符合题意;C中,点M(5,0)到直线4x-3y=0的距离为=4,故C符合题意;D中,点M(5,0)到直线2x-y+1=0的距离为=>4,故D不符合题意.故选AC.
13.x+y-7=0或2x-3y+6=0 [解析] 当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由点到直线的距离公式可知=,解得k=-1或k=.当k=-1时,直线l的方程为x+y-7=0;当k=时,直线l的方程为2x-3y+6=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时A(1,1),B(-1,3)两点到直线l的距离不相等,所以此种情况不存在.故所求直线l的方程为x+y-7=0或2x-3y+6=0.
14.2 [解析] 由题意可知,直线l显然不与y轴平行,所以可设直线l的方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,所以点(1,2)到直线l的距离d1==1,点(3,1)到直线l的距离d2==2,两式联立,解得或故满足条件的直线l共有2条.
15.解:(1)设A(m,n),∵边AB上的高CH所在直线的方程为8x+3y-17=0,∴kAB·=×=-1,可得8n-3m-18=0.∵边BC上的中线AP所在直线的方程为x+9y+6=0,∴m+9n+6=0.由
解得∴A(-6,0).
(2)设C(a,b),∵边AB上的高CH所在直线的方程为8x+3y-17=0,∴8a+3b-17=0.∵边BC上的中线AP所在直线的方程为x+9y+6=0,∴+9×+6=0,即a+9b+41=0.由解得∴C(4,-5),∴直线BC的方程为y-3=(x-2),即4x+y-11=0,∴点A到直线BC的距离d==.
16.ABC [解析] 对于A,若距离坐标为(0,0),即点P到两条直线的距离都为0,则点P为两条直线的交点,所以距离坐标为(0,0)的点P只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即点P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,则点P在直线l1上,点P到直线l2的距离为1,符合条件的点P有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即点P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,则有4个符合条件的点P,即为与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的4个交点,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),即点P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点P在2条相互垂直的直线上,D错误.故选ABC.
17.ABD [解析] 对于A,直线l:x-y+1=0的斜率kl=1,直线MN的斜率kMN==1,直线MN的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,kl=kMN,两直线不重合,所以直线MN与直线l平行,故A正确.对于B,当m的斜率不存在时,m:x=0,此时M,N两点到直线m的距离相等,且均为1;当m的斜率存在时,设m的斜率为k,则直线m的方程为y-3=kx,即kx-y+3=0,因为M,N两点到直线m的距离相等,所以=,得k=1,即m:x-y+3=0.所以这样的直线m有2条,故B正确.对于C,O到直线l:x-y+1=0的距离为=> ,所以不存在点P,使得|OP|=,故C错误.对于D,作M关于直线l:x-y+1=0的对称点M',连接PM',M'N,设M'(a,b),则有解得a=b=2,故M'(2,2),则|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|==(当且仅当N,P,M'三点共线时取等号),故D正确.故选ABD.
18.解:(1)因为∠AOB=60°,所以直线OB的斜率k=tan 60°=,所以直线OB的方程为y=x.
(2)设M(a,9),因为直线OB的方程为y=x,即x-y=0,所以点M到直线x-y=0的距离为=18,解得a=15或a=-9(不合题意,舍去),所以M(15,9).设C(x1,0),D(x2,y2),因为M为CD的中点,D在直线OB上,所以解得所以|CD|==36.