2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)第17讲任意角、弧度制及三角函数的概念(精讲)(学生版+解析)

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第17讲 任意角、弧度制及三角函数的概念（精讲）
①任意角和终边相同的角
②扇形弧长和面积公式
③三角函数的定义
④判断三角函数值的符号
一、三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【题型一 任意角和终边相同的角】
1．象限角的两种判断方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)两边同除以n或乘以n．
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
【典例1】（单选题）（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
5．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【题型二 扇形弧长和面积公式】
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）
A．R B．R C．R D．2R
一、单选题
1．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）若扇形的面积为6，半径为，则该扇形的圆心角为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
【典例1】（单选题）（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．－2 D．2
一、单选题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
4．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知角的终边落在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型四 判断三角函数值的符号】
三角函数值的符号判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【典例1】（单选题）（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
一、单选题
1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高三·全国·专题练习）若是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第17讲 任意角、弧度制及三角函数的概念（精讲）
①任意角和终边相同的角
②扇形弧长和面积公式
③三角函数的定义
④判断三角函数值的符号
一、三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【题型一 任意角和终边相同的角】
1．象限角的两种判断方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)两边同除以n或乘以n．
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
【典例1】（单选题）（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，；
为第三象限角时，；
综上，角的取值集合是.
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.
【详解】因为，所以与角终边相同的角是，
故选：C.
2．（2023高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】将，与的终边相同．
【详解】，
又终边在第三象限，
所在的象限为第三象限，
故选：C．
4．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【答案】C
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【详解】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
5．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.
【详解】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
【题型二 扇形弧长和面积公式】
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）
A．R B．R C．R D．2R
【答案】C
【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出；
【详解】设所对的圆心角为.
则由题意，得.所以，
所以，
故选:C.
一、单选题
1．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据扇形弧长公式计算可得.
【详解】因为扇形的圆心角为，半径为4，
所以由弧长公式得扇形的弧长为．
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】根据侧面展开的弧长与圆锥的底面周长相等，求得底面半径，进而即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，
则根据弧长公式＝π，解得r＝，
所以该圆锥的底面面积为π×()2＝3π．
故选：C．
3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）若扇形的面积为6，半径为，则该扇形的圆心角为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式即可求.
【详解】由题意，设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，
所以，所以，
所以该扇形的圆心角为.
故选：B
4．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】显然为等腰三角形，，则，，
即，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C
5．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据半角公式求出，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解.
【详解】由，可得，
故弦长为，矢长为，
所以所求弧田面积为.
故选：A.
【题型三 三角函数的定义】
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
【典例1】（单选题）（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．－2 D．2
【答案】A
【分析】由题意可知：，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式计算即得.
【详解】由题意，.
则.
故选：D.
2．（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义即可求得，从而得到结果.
【详解】由题意可得，则，所以，
所以.
故选：B
3．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】由定义可得，计算可求.
【详解】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，
所以．
故选：D．
三角函数值的符号判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【典例1】（单选题）（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限.
【详解】因为点在第二象限，所以，，
所以的终边在第三象限.
故选：C.
一、单选题
1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】通过判断的符号来确定点所在象限.
【详解】由于的终边位于第二象限，
所以，
所以位于第二象限.
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）若是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据角所在象限，利用诱导公式判断三角函数符号，即可判断选项.
【详解】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件定义，结合三角函数的定义判断即可.
【详解】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
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