广西百色市平果市2023-2024学年高二下学期数学开学考试试卷
1．（2024高二下·平果开学考）在数列中，已知，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．29
2．（2024高二下·平果开学考）已知两个向量，若，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024高二下·平果开学考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·平果开学考）已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2024高二下·平果开学考）下列关于双曲线 ： 的判断，正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
6．（2024高二下·平果开学考）已知，直线，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点在l上 B．点在上
C．点在内 D．点在外
7．（2024高二下·平果开学考）已知直线 与 垂直，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
8．（2024高二下·平果开学考）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，则周长的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
9．（2024高二下·平果开学考）设 为数列 的前 项和，且 ，若数列 满足： ，且 ，则以下说法正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C． D．
10．（2024高二下·平果开学考）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则P，A，B，C四点共面
11．（2024高二下·平果开学考）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角可能是
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得的截面可能是等腰梯形
12．（2024高二下·平果开学考）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（ ）
A．椭圆C的标准方程可以为
B．的周长为10
C．
D．
13．（2024高二下·平果开学考）已知数列是等比数列，且，，则 ．
14．（2024高二下·平果开学考）已知直线与直线，则与之间的距离为 .
15．（2024高二下·平果开学考）已知双曲线的左 右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为 .
16．（2024高二下·平果开学考）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ．
17．（2024高二下·平果开学考）已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程．
18．（2024高二下·平果开学考）已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ▲ ，求数列的前n项和.
在①，②，③
这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2024高二下·平果开学考）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
20．（2024高二下·平果开学考）四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面，．
（1）点在棱上，且，求证：平面；
（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（2024高二下·平果开学考）已知数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
22．（2024高二下·平果开学考）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，已知，且，
则，
则等于.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式和数列的首项，再利用代入法得出数列第四项的值.
2．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：已知两个向量，因为，
所以所以则m的值为-1.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数m的值.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线，
所以，
则的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义和焦点的位置与双曲线的标准方程的关系，从而得出实数m的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题可知，则，得，因此，故选D.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】关于双曲线 ： ， ， ， ，
则渐近线方程为 ；焦点为 ；实轴 ，顶点坐标为 ．
故答案为：B．
【分析】根据双曲线的方程，直接写出相应的结论，逐一排除即可.
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知，则圆心，半径为r，
又因为直线且直线l与⊙O相离，
则圆心O到直线l的距离d为又因为
所以，将点代入直线中得出，与已知不相符，
所以点P不在直线l上，因为，所以，则点在内.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系的判断方法，进而得出r的取值范围，再结合代入法和点与圆的位置关系判断方法，进而判断出点P与圆的位置关系，从而找出正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得 ， 故答案为：C.
【分析】利用两条直线垂直的直线一般方程的系数关系代入数值求出k的结果即可。
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，如图：
由抛物线标准方程可得，准线方程为：在抛物线的内部，
作准线于D，准线于，所以
由抛物线定义可知
当且仅当M，P，D三点共线时取得最小值，所以三角形周长的最小值是.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和准线方程，再结合抛物线的定义和三点共线求两边之和的最小值的方法，再利用三角形的周长公式，进而得出三角形周长的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，则当 时， ，
两式相减得 ，当 时， 也适合，故 ，
则 ，则 ，所以数列 是等比数列，A符合题意；
， ，
当 时， ，即 ，则数列 不是递增数列，B不符合题意；
，
，
两式相减可得 ，
所以 ，C符合题意；
，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上可得 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用an与Sn的关系求出an，再求出an-1，利用等比数列的定义即可判断选项A，求出bn，再利用作差法判断选项B ，利用错位相减法求出Tn判断选项C，利用作差法即可判断选项D.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理
【解析】【解答】解：已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，
所以，因为，
所以，所以A错；
因为
所以，所以B对；
因为，
所以不垂直，所以C错；
因为，又因为，所以P，A，B，C四点共面，
所以D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的坐标表示，进而得出向量的模，从而判断出选项A；利用向量的坐标运算和数量积的坐标运算，进而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而判断出选项C；利用空间向量基本定理和四点共面的判断方法，进而判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
，设
当 时， ；
当 时， ，
，∴ ，
，
∴直线D1P与AC所成的角为 ，
A不符合题意；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1 AA1，A1D1 AB，
∵AA1 AB＝A，∴A1D1 平面A1AP，
∵A1D1 平面D1A1P，∴平面D1A1P 平面A1AP，B符合题意；
对于C， ，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
为定值，C符合题意；
对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面 与直线B1C1交于点F，
因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 平面 ∩平面ADD1A1=AD1， 平面 ∩平面BCC1B1=EF，所以EF∥AD1，∴F为B1C1的中点，∴截面AD1FE为等腰梯形的截面，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】 对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为 ；对于B，由A1D1 AA1，A1D1 AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P 平面A1AP；对于C，三棱锥 的体积 为定值；对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面 与直线B1C1交于点F，截面AD1FE为等腰梯形的截面.
12．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，所以ab=6，
而椭圆的离心率解得
所以，当焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为：，所以A对；
三角形的周长为所以B错；
因为所以，所以C对；
因为，
当且仅当时等号成立，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合椭圆C的面积公式得出ab的值，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，再结合焦点的位置，进而得出椭圆的标准方程，从而判断出选项A；利用三角形的周长公式和椭圆的定义和焦距的定义，进而得出三角形的周长，从而判断出选项B；利用椭圆的定义和均值不等式求最值的方法得出的最大值，从而判断出选项C；利用已知条件结合余弦定理和的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】5
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：已知数列是等比数列，且，，
则所以，，所以
因为则所以.
故答案为：5.
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质和完全平方和公式，进而得出的值.
14．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：已知直线与直线平行，
则与之间的距离为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线方程变形和两平行直线的距离公式，进而得出两直线与之间的距离.
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为，不妨设点A的坐标为，点B的坐标为，
则解得又因为，所以
则解得，
将点B的坐标代入双曲线的标准方程，则
所以所以解得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两线段垂直，不妨设点A的坐标为，点B的坐标为，再利用双曲线的标准方程以及代入法得出再利用向量共线的坐标表示得出，再利用代入法和双曲线的标准方程以及双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，c的关系式，再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线C的离心率的值.
16．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：如图所示，在接收天线的轴截面所在的平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，如图：
设抛物线标准方程为：代入点，
所以，，所以p=1.8，所以抛物线的标准方程为：，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而设出抛物线标准方程和求出点的坐标，再结合代入法和抛物线的标准方程，进而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和顶点坐标，再由两点距离公式得出该抛物线的焦点到顶点的距离.
17．【答案】（1）解：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
故弦长为，
（2）解：由题意可知在直线上，由于，，
所以直线方程为，
设，则，
化简可得，解得或，
由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去，
故，圆心为则圆的方程为
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合勾股定理和弦长公式得出直线被圆截得的弦长；
（2）由题意可知在直线上，由于，，进而求出直线的斜截式方程，设，再结合两点距离公式和两圆外切位置关系判断方法，进而解方程得出满足要求的实数a的值，从而得出点M的坐标，进而得出圆M的标准方程.
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因为，所以，
则，2分解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：若选①，
则，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的定义，进而得出公比的取值范围，再结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而解方程组得出满足要求的等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式；
（2）因为题中选了①，再结合（1）中数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和.
19．【答案】（1）解：设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.
（2）解：
设直线l方程为，点，，
联立，得，
所以，
因此
若，即时，，所以定值为，
当斜率不存在时，直线l为，
联立可求得，，
所以，符合题意.
故存在定点，使得为定值-4.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线C的方程；
（2） 设直线l方程为，点，， 与圆的方程联立，利用韦达定理可得 ，可得 为定值 ，进而求出点Q的坐标 .
20．【答案】（1）解：作出点，并连接，，，，且交于点，连接，
在平行四边形中，，则，
又因为，所以，则有，
平面，平面，
所以平面．
（2）解：在中，，，，
则，
有，于是得，
即，，
又平面，
则以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，设，，
有，，
因异面直线与所成角的余弦值为，则
，解得，
，，
设平面的法向量，则，
令，得，取平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作出点，并连接，，，，且交于点，连接，再利用平行四边形两直线平行对应边成比例和对应边成比例两直线平行，从而证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，进而证出直线平面；
（2）在中，，，，再利用余弦定理得出AM的长，再结合勾股定理证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积求异面直线的角的方法，出点P的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求二面角的平面角的余弦值的方法和平面与平面所成角为锐二面角，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
21．【答案】（1）解：时，，，
中，时，，
两式相减得：，，
又，所以是等比数列，公比为2，
所以，即．
（2）解：由（1）得，
，①，
所以，②，
①－②得，
化简得．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系式和检验法，再结合等比数列的定义，进而证出数列是等比数列，公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式；
（2）利用数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前n项和.
22．【答案】（1）解：由已知得，离心率，
得，
则的方程为.
（2）解：由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为显然存在，
，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，
且，
因为.9分
，
化简得，
解得或（舍），
所以直线的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和椭圆的标准方程确定焦点的位置并求出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和焦点的位置以及椭圆中离心率公式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆C的标准方程；
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，可设直线的方程为再设出点M，N的坐标，再联立直线与椭圆方程和直线过点，再结合判别式法，进而得出显然成立，再结合韦达定理和三角形的面积公式以及，进而得出直线l的一般方程.
1 / 1广西百色市平果市2023-2024学年高二下学期数学开学考试试卷
1．（2024高二下·平果开学考）在数列中，已知，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．29
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，已知，且，
则，
则等于.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式和数列的首项，再利用代入法得出数列第四项的值.
2．（2024高二下·平果开学考）已知两个向量，若，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：已知两个向量，因为，
所以所以则m的值为-1.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数m的值.
3．（2024高二下·平果开学考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线，
所以，
则的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义和焦点的位置与双曲线的标准方程的关系，从而得出实数m的取值范围.
4．（2024高二下·平果开学考）已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题可知，则，得，因此，故选D.
5．（2024高二下·平果开学考）下列关于双曲线 ： 的判断，正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】关于双曲线 ： ， ， ， ，
则渐近线方程为 ；焦点为 ；实轴 ，顶点坐标为 ．
故答案为：B．
【分析】根据双曲线的方程，直接写出相应的结论，逐一排除即可.
6．（2024高二下·平果开学考）已知，直线，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点在l上 B．点在上
C．点在内 D．点在外
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知，则圆心，半径为r，
又因为直线且直线l与⊙O相离，
则圆心O到直线l的距离d为又因为
所以，将点代入直线中得出，与已知不相符，
所以点P不在直线l上，因为，所以，则点在内.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系的判断方法，进而得出r的取值范围，再结合代入法和点与圆的位置关系判断方法，进而判断出点P与圆的位置关系，从而找出正确的选项.
7．（2024高二下·平果开学考）已知直线 与 垂直，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得 ， 故答案为：C.
【分析】利用两条直线垂直的直线一般方程的系数关系代入数值求出k的结果即可。
8．（2024高二下·平果开学考）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，则周长的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，如图：
由抛物线标准方程可得，准线方程为：在抛物线的内部，
作准线于D，准线于，所以
由抛物线定义可知
当且仅当M，P，D三点共线时取得最小值，所以三角形周长的最小值是.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和准线方程，再结合抛物线的定义和三点共线求两边之和的最小值的方法，再利用三角形的周长公式，进而得出三角形周长的最小值.
9．（2024高二下·平果开学考）设 为数列 的前 项和，且 ，若数列 满足： ，且 ，则以下说法正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，则当 时， ，
两式相减得 ，当 时， 也适合，故 ，
则 ，则 ，所以数列 是等比数列，A符合题意；
， ，
当 时， ，即 ，则数列 不是递增数列，B不符合题意；
，
，
两式相减可得 ，
所以 ，C符合题意；
，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上可得 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用an与Sn的关系求出an，再求出an-1，利用等比数列的定义即可判断选项A，求出bn，再利用作差法判断选项B ，利用错位相减法求出Tn判断选项C，利用作差法即可判断选项D.
10．（2024高二下·平果开学考）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则P，A，B，C四点共面
【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理
【解析】【解答】解：已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，
所以，因为，
所以，所以A错；
因为
所以，所以B对；
因为，
所以不垂直，所以C错；
因为，又因为，所以P，A，B，C四点共面，
所以D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的坐标表示，进而得出向量的模，从而判断出选项A；利用向量的坐标运算和数量积的坐标运算，进而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而判断出选项C；利用空间向量基本定理和四点共面的判断方法，进而判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·平果开学考）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角可能是
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得的截面可能是等腰梯形
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
，设
当 时， ；
当 时， ，
，∴ ，
，
∴直线D1P与AC所成的角为 ，
A不符合题意；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1 AA1，A1D1 AB，
∵AA1 AB＝A，∴A1D1 平面A1AP，
∵A1D1 平面D1A1P，∴平面D1A1P 平面A1AP，B符合题意；
对于C， ，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
为定值，C符合题意；
对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面 与直线B1C1交于点F，
因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 平面 ∩平面ADD1A1=AD1， 平面 ∩平面BCC1B1=EF，所以EF∥AD1，∴F为B1C1的中点，∴截面AD1FE为等腰梯形的截面，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】 对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为 ；对于B，由A1D1 AA1，A1D1 AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P 平面A1AP；对于C，三棱锥 的体积 为定值；对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面 与直线B1C1交于点F，截面AD1FE为等腰梯形的截面.
12．（2024高二下·平果开学考）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（ ）
A．椭圆C的标准方程可以为
B．的周长为10
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，所以ab=6，
而椭圆的离心率解得
所以，当焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为：，所以A对；
三角形的周长为所以B错；
因为所以，所以C对；
因为，
当且仅当时等号成立，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合椭圆C的面积公式得出ab的值，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，再结合焦点的位置，进而得出椭圆的标准方程，从而判断出选项A；利用三角形的周长公式和椭圆的定义和焦距的定义，进而得出三角形的周长，从而判断出选项B；利用椭圆的定义和均值不等式求最值的方法得出的最大值，从而判断出选项C；利用已知条件结合余弦定理和的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高二下·平果开学考）已知数列是等比数列，且，，则 ．
【答案】5
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：已知数列是等比数列，且，，
则所以，，所以
因为则所以.
故答案为：5.
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质和完全平方和公式，进而得出的值.
14．（2024高二下·平果开学考）已知直线与直线，则与之间的距离为 .
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：已知直线与直线平行，
则与之间的距离为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线方程变形和两平行直线的距离公式，进而得出两直线与之间的距离.
15．（2024高二下·平果开学考）已知双曲线的左 右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为，不妨设点A的坐标为，点B的坐标为，
则解得又因为，所以
则解得，
将点B的坐标代入双曲线的标准方程，则
所以所以解得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两线段垂直，不妨设点A的坐标为，点B的坐标为，再利用双曲线的标准方程以及代入法得出再利用向量共线的坐标表示得出，再利用代入法和双曲线的标准方程以及双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，c的关系式，再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线C的离心率的值.
16．（2024高二下·平果开学考）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：如图所示，在接收天线的轴截面所在的平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，如图：
设抛物线标准方程为：代入点，
所以，，所以p=1.8，所以抛物线的标准方程为：，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而设出抛物线标准方程和求出点的坐标，再结合代入法和抛物线的标准方程，进而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和顶点坐标，再由两点距离公式得出该抛物线的焦点到顶点的距离.
17．（2024高二下·平果开学考）已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程．
【答案】（1）解：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
故弦长为，
（2）解：由题意可知在直线上，由于，，
所以直线方程为，
设，则，
化简可得，解得或，
由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去，
故，圆心为则圆的方程为
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合勾股定理和弦长公式得出直线被圆截得的弦长；
（2）由题意可知在直线上，由于，，进而求出直线的斜截式方程，设，再结合两点距离公式和两圆外切位置关系判断方法，进而解方程得出满足要求的实数a的值，从而得出点M的坐标，进而得出圆M的标准方程.
18．（2024高二下·平果开学考）已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ▲ ，求数列的前n项和.
在①，②，③
这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因为，所以，
则，2分解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：若选①，
则，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的定义，进而得出公比的取值范围，再结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而解方程组得出满足要求的等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式；
（2）因为题中选了①，再结合（1）中数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和.
19．（2024高二下·平果开学考）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.
（2）解：
设直线l方程为，点，，
联立，得，
所以，
因此
若，即时，，所以定值为，
当斜率不存在时，直线l为，
联立可求得，，
所以，符合题意.
故存在定点，使得为定值-4.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线C的方程；
（2） 设直线l方程为，点，， 与圆的方程联立，利用韦达定理可得 ，可得 为定值 ，进而求出点Q的坐标 .
20．（2024高二下·平果开学考）四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面，．
（1）点在棱上，且，求证：平面；
（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：作出点，并连接，，，，且交于点，连接，
在平行四边形中，，则，
又因为，所以，则有，
平面，平面，
所以平面．
（2）解：在中，，，，
则，
有，于是得，
即，，
又平面，
则以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，设，，
有，，
因异面直线与所成角的余弦值为，则
，解得，
，，
设平面的法向量，则，
令，得，取平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作出点，并连接，，，，且交于点，连接，再利用平行四边形两直线平行对应边成比例和对应边成比例两直线平行，从而证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，进而证出直线平面；
（2）在中，，，，再利用余弦定理得出AM的长，再结合勾股定理证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积求异面直线的角的方法，出点P的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求二面角的平面角的余弦值的方法和平面与平面所成角为锐二面角，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
21．（2024高二下·平果开学考）已知数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：时，，，
中，时，，
两式相减得：，，
又，所以是等比数列，公比为2，
所以，即．
（2）解：由（1）得，
，①，
所以，②，
①－②得，
化简得．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系式和检验法，再结合等比数列的定义，进而证出数列是等比数列，公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式；
（2）利用数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前n项和.
22．（2024高二下·平果开学考）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
【答案】（1）解：由已知得，离心率，
得，
则的方程为.
（2）解：由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为显然存在，
，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，
且，
因为.9分
，
化简得，
解得或（舍），
所以直线的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和椭圆的标准方程确定焦点的位置并求出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和焦点的位置以及椭圆中离心率公式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆C的标准方程；
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，可设直线的方程为再设出点M，N的坐标，再联立直线与椭圆方程和直线过点，再结合判别式法，进而得出显然成立，再结合韦达定理和三角形的面积公式以及，进而得出直线l的一般方程.
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