24.1 圆的有关性质 教案
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24.1 圆的有关性质+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。
【教学目标】
让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.
结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.
引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.
培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.
【重点难点】
教学重点：
1.圆的两种定义 。
2.圆有关的概念。
教学难点：
1.对圆集合意义的理解。
2.圆有关概念之间的区别和联系。
【新课导入】
一、情境引入
做一做：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转
问题1：（1）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？
（2）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？若旋转任意角度呢？
得出结论（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
（2）圆具有旋转不变性，圆是旋转对称图形；
【新课讲解】
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
=，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
(1) (2)
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现：=，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下．
请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD
【课堂小结】
1.圆周角的概念.
2.圆周角的定理及其推论.
3.圆内接多边形.
【布置作业】
（一）布置作业
1.如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点．若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为( )
A．55°
B. 65°
C．75°
D．85°
2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠B＝130°，则∠AOC＝100°.
3．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D，连接BD，AD，则∠BAD＋∠ABD＝72°.,
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．求证：BD＝CD．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF.
(1)求证：AE是⊙O的直径；
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，则AC的长为 .
【板书设计】
略
【教学反思】
本节课让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆,观察对称性,学生很容易得到圆的对称轴,为后边的学习做好铺垫.探究活动让学生在自己的纸片上画出与直径垂直的弦,并把圆形纸片沿直径对折,问学生会发现什么结论,通过这一探究过程,大部分学生参与到课堂中去,并培养了学生动手操作和创新能力,也激发了学生探究问题的兴趣,学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理,实现了教学的有效性,这是这节课中最成功的地方.先通过一个简单的例题，加深对垂径定理的理解和运用，抽象概括出解决问题的一般方法。这样可以使学生体会到成功的喜悦,之后再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情.
不足之处在于应该给更多的时间让学生独立思考，不要先急于引导学生分析.
24.1 圆的有关性质+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。
【教学目标】
让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.
结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.
引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.
培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.
【重点难点】
教学重点：
1.圆的两种定义 。
2.圆有关的概念。
教学难点：
1.对圆集合意义的理解。
2.圆有关概念之间的区别和联系。
【新课导入】
一、情境引入
做一做：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转
问题1：（1）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？
（2）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？若旋转任意角度呢？
得出结论（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
（2）圆具有旋转不变性，圆是旋转对称图形；
【新课讲解】
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
=，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
(1) (2)
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现：=，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下．
请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD
【课堂小结】
1.圆周角的概念.
2.圆周角的定理及其推论.
3.圆内接多边形.
【布置作业】
（一）布置作业
1.如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点．若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为( )
A．55°
B. 65°
C．75°
D．85°
2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠B＝130°，则∠AOC＝100°.
3．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D，连接BD，AD，则∠BAD＋∠ABD＝72°.,
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．求证：BD＝CD．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF.
(1)求证：AE是⊙O的直径；
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，则AC的长为 .
【板书设计】
略
【教学反思】
本节课让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆,观察对称性,学生很容易得到圆的对称轴,为后边的学习做好铺垫.探究活动让学生在自己的纸片上画出与直径垂直的弦,并把圆形纸片沿直径对折,问学生会发现什么结论,通过这一探究过程,大部分学生参与到课堂中去,并培养了学生动手操作和创新能力,也激发了学生探究问题的兴趣,学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理,实现了教学的有效性,这是这节课中最成功的地方.先通过一个简单的例题，加深对垂径定理的理解和运用，抽象概括出解决问题的一般方法。这样可以使学生体会到成功的喜悦,之后再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情.
不足之处在于应该给更多的时间让学生独立思考，不要先急于引导学生分析.
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