第5章二元一次方程组 计算能力达标测试题 （含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

2024-2025学年北师大版八年级数学上册《第5章二元一次方程组》
计算能力达标测试题（附答案）
（满分120分）
1．解方程组：
(1) (2)
2．已知关于的二元一次方程的一组解为，求的平方根．
3．（1）用代入消元法解方程组
（2）用加减消元法解方程组
4．解下列方程组：
(1) (2)
5．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值．
6．利用换元法解下列方程组：
(1) (2)
7．若关于，的方程，，有公共解，求k的值．
8．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求方程组的解．
9．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值．
10．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
11．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．
例如：，已知，．
(1)求，的值．
(2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
12．已知关于x，y的二元一次方程组．若该方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
13．综合与运用
已知关于，的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求，的值；
(3)小明同学说，无论取何值，（1）中的解都是关于，的方程的解，这句话对吗？请你说明理由．
14．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
15．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
16．阅读理解题．
解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：．
17．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求的值
(2)若方程组的解满足方程，求的值．
18．已知关于，的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
(3)，的自然数解是________．
19．已知关于x、y的方程组
(1)请写出方程 的一组正整数解；
(2)不管m取任何值，方程：总有一个固定解，请求出这个解；
(3)若方程组的解满足．，直接写出m的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且满足：．
(1)请求出点、点的坐标；
(2)连接，当轴时，求的值；
(3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．（1）解：，
由得：，
解得：，将代入得：，
解得：，
方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
方程组的解为．
2．解：把代入，得，
，
的平方根是．
3．解：（1），
由①得：③，
将③代入②，得，
整理得，，
将代入③，得，
∴方程组的解为；
（2），
，得，
将代入①，得，
∴方程组的解为．
4．（1）解：，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
则方程组的解为；
（2）解：由②，得，
整理，得，③
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
则方程组的解为．
5．解：，
由得： ，
∴当时，，
∵有正整数解
∴，且或2或3或4或6或12
∴，
当，则，此时，（舍）；
当，则，此时，（舍）；
当，则，此时，；
当，则，此时，；
当，则，此时，；
当，则，此时，，
∴整数a的值为1或2或4或10．
6．（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得，，
原方程组的解为；
（2）解：令，，
原方程组化为，
解得，
将代入，，
得，
解得，
原方程组的解为．
7．解：由题意得：，
解得：，
把代入得：
，
解得．
8．解：，
得：，
∴，
把代入②，
得，
∴，
∵方程组的解也是方程的解，
∴，
解得，，
∴．
∴方程组的解为：．
9．解：由题意得：
把代入
得：，
解得：，
方程组为，
因为乙将一个方程中的写成了相反数，
所以把代入方程组得：，
把代入方程得：．
10．解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
（2）将代入原方程组得：，
得：，
又∵，
∴，
解得：，
∴的值为．
12．解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
解得：．
13．（1）解：由题意可得：，
解得：，
这个相同的解为；
（2）将代入含有，的方程得：
，
解得：，
，的值分别为6，4；
（3）对，将代入中，得：
，
，
无论取何值，都是方程的解．
14．解：（1）∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解
∴
令
由得，，
解得：；
把代入式，则
解得：；
∴方程组的解为：．
（2）∵方程组的解为：，
∴把代入中，
∴，
化简得：，
由得，；
由得，，
解得：；
把代入式，则，
解得：；
∴．
15．（1）解：根据题中的新定义得：；
（2）解：∵，
∴①，
∵，
∴②，
得
∴．
16．解：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，
所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
17．（1）解：
①②，得，
①②，得．
∵方程组的解互为相反数，
∴，
即，
∴．
（2）
②①，得，
∵，
解得，
代入②得：，
∴
18．（1）解：，
由得，，
，
，
解得．
（2）解：由题意，得，
，
解得，，
，
当取不同实数时，的值不变，都为．
（3）解：由（2）得，，
当时，，
，
当时，，
此时，，为非自然数，
，的自然数解是．
19．（1）解：把代入得：，
解得：，
∴方程 的一组正整数解为；
把代入得：，
解得：，
∴方程 的一组正整数解为；
（2）解：方程，
整理得，
由于无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴列出方程组，
解得：；
（3）解：解方程组，得，
将代入，
解得．
20．（1）解： ，
，解得，
点，点，
，；
（2）解： ，，
当轴时，；
（3）解：存在，
根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上；
当点在轴上，分点D在点A左、右两种情况，如图所示：
设，
三角形的面积是8，，，
，即，
解得或，
则或；
当点在轴上，分点D在点B上、下两种情况，如图所示：
设，
三角形的面积是8，，，
，即，
解得或，
则或；
综上所述，在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，则或或或．