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第7章 平行线的证明 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 长兴县月考）下列命题中，是真命题的有
①对顶角相等；
②不相交的两条直线一定平行；
③等角的补角相等；
④如果，那么．
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
2．（2023春 白银区校级期末）下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
3．（2024秋 西湖区校级月考）在△中，若，，则△为
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
4．（2023秋 林芝市期末）如图，△中，为△的角平分线，为△的高，，，那么是
A． B． C． D．
5．（2023秋 麻栗坡县期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A． B．
C． D．
6．（2024秋 吴江区校级月考）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则为
A． B． C． D．
7．（2024秋 大同月考）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是△的外角．
求证：．
甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是
甲的证法：， ， ， ． 乙的证法：如图，过点作， ，． ， ．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．甲、乙的都不正确 D．甲、乙的都正确
8．（2024 深圳模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为 度时，．
A．15 B．65 C．70 D．115
9．（2024秋 黄陂区月考）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023秋 丰泽区校级期中）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
A．① B．②③ C．③ D．①③
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 淮安区期末）将命题“内错角相等”，写成“如果，那么”的形式： ．
12．（2023秋 郏县期末）如图，，，则点，，在同一条直线上，理由是 ．
13．（2024秋 西华县校级月考）如图，，，过点作．则的度数是 ．
14．（2024春 绿园区期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ．
15．（2023秋 成武县期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能情况）．
16．（2024春 海淀区校级期中）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024秋 桃城区校级月考）命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
18．（2024秋 当阳市校级月考）如图，，，，求与的度数．
19．（2024春 敦化市期末）如图，在中，平分交于，平分交于，已知，求证：．（证明时，请注明推理的理由）
20．（2024 淄川区二模）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
21．（2024秋 咸丰县校级月考）如图，点在上，点在上，连接，，，与交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
22．（2024秋 汶上县校级月考）如图，为△角平分线，与交于点，为△外角的平分线，与相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数．
23．（2024春 大余县期末）如图，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若平分，于点，，求的度数．
24．（2024春 桐柏县期末）【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”， “邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则 ；
（2）如图②，在中，，，若的“邻三分线” 交于点，则 ；
（3）如图③，在中，、分别是邻 “三分线”和邻 “三分线”，且，求的度数．
25．（2024春 龙湾区校级期中）如图，直线，，的角平分线交于点．
（1）与相等吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
（3）点为射线上一点，连结，．若，且，求的度数．
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第7章 平行线的证明 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 长兴县月考）下列命题中，是真命题的有
①对顶角相等；
②不相交的两条直线一定平行；
③等角的补角相等；
④如果，那么．
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
【答案】
【解析】对顶角相等，故①是真命题，符合题意；
在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故②不是真命题，不符合题意；
如果这两个角相等，那么他们的补角也相等，即等角的补角相等，故③是真命题，符合题意；
假设，，即，但，故④不是真命题，不符合题意；
故选．
2．（2023春 白银区校级期末）下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】
【解析】中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
、、正确．
故选．
3．（2024秋 西湖区校级月考）在△中，若，，则△为
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】
【解析】，，
，
故△是锐角三角形，
故选．
4．（2023秋 林芝市期末）如图，△中，为△的角平分线，为△的高，，，那么是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】为△的高，
，，
，
是角平分线，
，
在△中，．
，
故选．
5．（2023秋 麻栗坡县期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，故选项不符合题意；
，，故选项符合题意；
由，不能判断，故选项不符合题意；
，，故选项不符合题意；
故选．
6．（2024秋 吴江区校级月考）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，先标注字母，
，
，而，
，
，
，
，
，
，
故选．
7．（2024秋 大同月考）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是△的外角．
求证：．
甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是
甲的证法：， ， ， ． 乙的证法：如图，过点作， ，． ， ．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．甲、乙的都不正确 D．甲、乙的都正确
【答案】
【解析】根据题意，两种证法都是正确的，
故选．
8．（2024 深圳模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为 度时，．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】
【解析】，，
，
，
，
，
当时，，
故选．
9．（2024秋 黄陂区月考）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】，
，
，
所以③正确；
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，
所以①正确；
平分，
，
，
，所以②正确；
当时，，
，
，
，
而，
，
，
．故④错误．
故正确的结论有3个．
故选．
10．（2023秋 丰泽区校级期中）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
A．① B．②③ C．③ D．①③
【答案】
【解析】假设12个球中每两个球进行碰撞，则可以得到6个球，9个球中让其中8个球每两个进行碰撞，则可以得到4个球，加上原来的球，共20个球，让这20个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是型小球，③正确．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 淮安区期末）将命题“内错角相等”，写成“如果，那么”的形式： 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ．
【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
【解析】“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
12．（2023秋 郏县期末）如图，，，则点，，在同一条直线上，理由是 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【解析】，，点，，在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
13．（2024秋 西华县校级月考）如图，，，过点作．则的度数是 ．
【答案】．
【解析】，．
，
，
．
故答案为：．
14．（2024春 绿园区期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 30 ．
【答案】．
【解析】是△中的平分线，是的外角的平分线，
，，
是△的外角，
，
故答案为：．
15．（2023秋 成武县期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 或或 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能情况）．
【答案】或或．
【解析】有三种情形：①如图1中，当时，延长交于点，
，
；
②如图2中，当时，延长交于点
；
③如图3中，当时，
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或或．
故答案为：或或．
16．（2024春 海淀区校级期中）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有 ①③④ ．
【答案】①③④
【解析】，，
，，
，
又，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
又，
，故②错误；
，，而，
，
平分，故③正确；
，
．
和的平分线交于点，
．
，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④
三．解答题（共9小题）
17．（2024秋 桃城区校级月考）命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【解析】（1）逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”；
（2）假命题，
反例：两个角都是直角．
18．（2024秋 当阳市校级月考）如图，，，，求与的度数．
【解析】，
，
．
与的度数分别为和．
19．（2024春 敦化市期末）如图，在中，平分交于，平分交于，已知，求证：．（证明时，请注明推理的理由）
【解析】证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
20．（2024 淄川区二模）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： ①②④ （填序号）．
结论为： （填序号）．
【解析】条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
故答案为：①②④；③
21．（2024秋 咸丰县校级月考）如图，点在上，点在上，连接，，，与交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
【解析】（1）解：，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
22．（2024秋 汶上县校级月考）如图，为△角平分线，与交于点，为△外角的平分线，与相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得．
23．（2024春 大余县期末）如图，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若平分，于点，，求的度数．
【解析】（1）与平行，
证明：，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：，，
，
平分，
（角平分线定义），
（已证），
又，，
，
（垂直定义），
（已证），
（两直线平行，同位角相等），
．
24．（2024春 桐柏县期末）【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”， “邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则 40 ；
（2）如图②，在中，，，若的“邻三分线” 交于点，则 ；
（3）如图③，在中，、分别是邻 “三分线”和邻 “三分线”，且，求的度数．
【解析】（1），，是的“三分线”，
，
故答案为：40；
（2）如图，
是“邻三分线”时，，
则，
故答案为：90；
（3），
，
．
，分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
．
25．（2024春 龙湾区校级期中）如图，直线，，的角平分线交于点．
（1）与相等吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
（3）点为射线上一点，连结，．若，且，求的度数．
【解析】（1）与相等，理由如下：
是的平分线，
，
，
，
；
（2）设，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
；
（3）设，
，
，
点为射线上一点，
有以下两种情况：
①当点在线段上时，如图1所示：
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即；
②当点在线段的延长线上时，
过点作交的延长线于，如图2所示：
，
，，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得：，
，
综上所述：的度数为或．
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