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第5章 二元一次方程组 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 任丘市期末）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、是二元一次方程，正确；
、不是整式方程，不是二元一次方程，不正确；
、不是一次方程，不正确；
、是三元一次方程，不正确．
故选．
2．（2024春 龙湾区校级期中）已知是方程的一个解，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把代入方程得：
，
，
，
故选．
3．（2024春 陇县期末）把方程改写成含的式子表示的形式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方程，
解得：，
故选．
4．（2023秋 麻栗坡县期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
【答案】
【解析】已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选．
5．（2024春 东台市期末）从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为．已知他从地到地需用，从地返回地需用．问从地到地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，，且列出一个方程为，则另一个方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设坡路长为 ，平路长为 ，
根据题意得．
故选．
6．（2023秋 雅安期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把代入，得，即，
方程组的解是，
故答案为：．
7．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是的一个解，则的值为
A．1 B． C． D．4
【答案】
【解析】解出方程组，
得，
代入，得，
解得．
故选．
8．（2024春 洪山区期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，三元一次方程组，若为定值，则与关系
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：，
①②得：，
为定值，
．
故选．
9．（2024 凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】二元一次方程组的解是，
，
，
，
，，，；
故表示的方程可能是；
故选．
10．（2023秋 蜀山区期末）已知关于，的方程组给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；
③，均为正整数的解只有1对；
④若，则．
正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】
【解析】①当时，关于，的方程组为，
解得，
，
当时，，
当时，方程组的解也是的解，正确；
②，
①②得，，
解得，
把代入②得，，
，
无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确；
③由②得，
原方程组的正整数解是，，共2对，错误；
④①②得，，
，
，
解得，正确；
正确的有①②④，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2022春 伊川县期中）已知是关于，的二元一次方程，则 4 ．
【答案】4．
【解析】是关于，的二元一次方程，
，
，
，
故答案为：4．
12．（2024秋 温江区校级月考）已知，则的值为 ．
【答案】．
【解析】，
，
①得：．
故答案为：．
13．（2022 济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则的值是 5 ．
【答案】5．
【解析】解方程组，
得，
代入得，．
14．（2024春 文峰区校级期中）对有理数，定义一种新运算“”： ，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么 5 ．
【答案】5．
【解析】由题意知，，
得，
解得，
．
故答案为：5．
15．（2023秋 麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】．
【解析】方程组的解是，
直线与的交点坐标为．
故答案为．
16．（2024春 南关区校级期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 4 种．
【答案】4．
【解析】设购买个跳绳，个呼啦圈，
依题意得：，
．
，均为正整数，
为3的倍数，
或或或，
该班级共有4种购买方案．
故答案为：4．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 玄武区校级月考）解方程组：
（1）用代入消元法；
（2）用加减消元法；
（3）；
（4）．
【解析】，
将①代入②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
所以方程组的解为；
（2）整理得，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为；
（3），
①②，得：，
解得：，
①②，得：，
解得：，
所以方程组的解为；
（4）设，则，
，
，
，
，
，
②①得：④，
③④得：，
解得：，
将代入②，得：，
将代入③，得：，
所以方程组的解为．
18．（2024春 张家口期末）已知方程组，王芳看错了方程①中的得到方程组的解为，李明看错了方程②中的得到方程组的解为，求原方程组的解．
【解析】由题意可知：
，解得
，解得：
解得：
19．（2024春 宿城区校级期末）已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求的值．
【解析】（1）由题意得：，
①得：③，
②③得：，
把代入②得：，
方程组的解为：；
（2）把（1）中所求的，分别代入和得：，
①得：③，
②③得：，
把代入①得：，
．
20．（2024春 中江县月考）在平面直角坐标系中有一点，且点的坐标满足．
（1）当时，求点的坐标；
（2）若点到轴的距离为5，求点的坐标．
【解析】（1）当时，，
解方程组，得，
点的坐标是；
（2）若点到轴的距离是5，
或．
当时，，
解得，
点的坐标是；
当时，，
解得，
点的坐标是；
所以点的坐标是或．
21．（2024秋 闵行区期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：，解答下列问题：
（1）用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？
【解析】（1）设客厅的宽是，卫生间的宽是，
地面的总面积为：；
（2）由题意得，
整理得：，
①②得：，解得：，
把代入①解得：，
解得：，
地面总面积为：，
铺地砖的总费用为：（元．
答：那么铺地砖的总费用为4500元．
22．（2024秋 乌当区月考）如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点，求方程组的解．
【解析】（1）一次函数图象过点，，
，解得，
一次函数的表达式为：．
（2）将代入得：
，
，
将方程组整理为，
方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，
方程组的解为．
23．（2024春 西湖区校级期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买、两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯款奶茶，5杯款奶茶，共需160元；若买15杯型奶茶，10杯型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买、两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买、两款奶茶，其中款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中型加料的奶茶买了多少杯？
【解析】任务1，设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，
则款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
、、均为正整数，
，
，
答：款加料的奶茶买了3杯．
24．（2024春 任城区期末）学完《二元一次方程与一次函数》一节后，老师布置了这样一道思考题：已知如图，在长方形中，，，为中点，和相交于点．求的面积．
小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．
【解析】如图，点、、、、．
设直线的解析式为，
将点代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
设直线的解析式为，
得，
解得，
直线的解析式为．
联立直线、的解析式成方程组，
，
解得，
点的坐标为，，
．
25．（2024春 朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
（1）求，的值；
（2）若，求的值；
（3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
（4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解．
【解析】（1）由题意，，，
．
．
（2）由题意，，
．
．
又，
．
（3）由题意，方程组可化为，
．
又，
．
．
（4）由题意，方程组可化为，而方程组可化为，
即，
又方程组的解为，
．
．
方程组的解为．
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第5章 二元一次方程组 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 任丘市期末）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024春 龙湾区校级期中）已知是方程的一个解，则的值为
A． B． C． D．
3．（2024春 陇县期末）把方程改写成含的式子表示的形式为
A． B． C． D．
4．（2023秋 麻栗坡县期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
5．（2024春 东台市期末）从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为．已知他从地到地需用，从地返回地需用．问从地到地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，，且列出一个方程为，则另一个方程是
A． B． C． D．
6．（2023秋 雅安期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是
A． B． C． D．
7．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是的一个解，则的值为
A．1 B． C． D．4
8．（2024春 洪山区期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，三元一次方程组，若为定值，则与关系
A． B． C． D．
9．（2024 凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是
A． B． C． D．
10．（2023秋 蜀山区期末）已知关于，的方程组给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；
③，均为正整数的解只有1对；
④若，则．
正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共6小题）
11．（2022春 伊川县期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ．
12．（2024秋 温江区校级月考）已知，则的值为 ．
13．（2022 济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则的值是 ．
14．（2024春 文峰区校级期中）对有理数，定义一种新运算“”： ，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么 ．
15．（2023秋 麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
16．（2024春 南关区校级期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 玄武区校级月考）解方程组：
（1）用代入消元法；
（2）用加减消元法；
（3）；
（4）．
18．（2024春 张家口期末）已知方程组，王芳看错了方程①中的得到方程组的解为，李明看错了方程②中的得到方程组的解为，求原方程组的解．
19．（2024春 宿城区校级期末）已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求的值．
20．（2024春 中江县月考）在平面直角坐标系中有一点，且点的坐标满足．
（1）当时，求点的坐标；
（2）若点到轴的距离为5，求点的坐标．
21．（2024秋 闵行区期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：，解答下列问题：
（1）用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？
22．（2024秋 乌当区月考）如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点，求方程组的解．
23．（2024春 西湖区校级期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买、两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯款奶茶，5杯款奶茶，共需160元；若买15杯型奶茶，10杯型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买、两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买、两款奶茶，其中款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中型加料的奶茶买了多少杯？
24．（2024春 任城区期末）学完《二元一次方程与一次函数》一节后，老师布置了这样一道思考题：已知如图，在长方形中，，，为中点，和相交于点．求的面积．
小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．
25．（2024春 朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
（1）求，的值；
（2）若，求的值；
（3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
（4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解．
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