2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且斜率为的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知两条直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.方程所表示的圆的最大面积为( )
A. B. C. D.
4.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于点，直线为椭圆在点处的切线，点关于的对称点为由椭圆的光学性质知，，，三点共线若，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆的圆心为，半径为，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，
切点为，，则弦长的范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，下列说法正确的是( )
A. 圆的方程为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 到的渐近线的距离为 D. 的面积为
10.已知圆：，则下列结论正确的为( )
A. 的半径为
B. 关于直线对称
C. 直线被所截得的弦长为
D. 若点在上，则的最大值为
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于，两点，则
12.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为______．
14.一条光线沿经过点且斜率为的直线射到轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为______．
15.已知正三角形的边长为，是平面上一点，若，则的最大值为______．
16.已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为______，的内切圆半径长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，：，设直线，的交点为．
求点的坐标；
若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18.本小题分
求满足下列条件的圆的标准方程：
圆心是，且过点；
圆心在轴上，半径为，且过点．
19.本小题分
已知椭圆：，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．
证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
20.本小题分
已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，．
求点的轨迹方程；
记中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得弦为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知和为椭圆上的两点．
求椭圆的离心率；
设直线：与椭圆交于、两点，求的取值范围．
22.本小题分
如图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点．
求椭圆的方程；
若过点作圆：圆在椭圆内的两条切线分别与椭圆相交于、两点、异于点，当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
参考答案
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17.解：联立方程，解得；
直线在两坐标轴上的截距相等，
直线的斜率为或经过原点．
当直线过原点时，直线过点，
的方程为；
当直线斜率为时，直线过点，
的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
18.解：圆心是，且过点；
故半径；
所以圆的标准方程为：；
圆心在轴上，半径为，且过点，
设圆心为，
可得，解得或；
故圆的标准方程为：或．
19.解：证明：依题意，因为，所以，
设，，，
则，两式相减可得，
得，即，
因为为线段 的中点，则，，
直线的斜率，直线的斜率，
于是得是定值，
即直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
如图，设点的坐标为，
由，消去并整理得：，
则，即，
所以，
又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分，
则，即点，
而点在椭圆上，于是得，
解得：，则，
所以椭圆的方程为：．
20.解：已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，
设点坐标为，直线与圆相切于点，
则，
所以，
即，
化简得．
设直线方程为，点，，
联立方程，
得，
所以，
因为以为直径得圆过点，
则，
即，
化简得，
代入根与系数关系中，得，
解得或，
故直线的方程为或．
21.解：依题意有，解得，
所以，所以，，，
所以椭圆离心率．
由有椭圆标准方程为，
联立，消去得，
，
设，，则，
则
，
点到直线的距离，
所以，
令，则，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，即的取值范围为．
22.解：由题知，解得，，
故椭圆的方程为；
设点为椭圆上任意一点，则，
所以，
所以当时，取最小值，
即椭圆上的点到点的最小距离为，
因为圆在椭圆内部，所以半径，
所以直线、的斜率均存在，
设过点与圆相切的直线为，设直线、的斜率分别为、，
则圆心到直线的距离，
化简得：，
从而，
由得：，解得：或，
将代入，可得，
所以，
所以直线的斜率，
直线的方程为：，
化简为：，
即，
所以，当变化时，直线总过定点．
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