2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校东校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校东校高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件不能确定一个平面的是( )
A. 不共线三点 B. 直线和直线上一点 C. 两条平行直线 D. 两条相交直线
2.设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
3.正方体中，为正方形内一点不含边界，记为正方形的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，若，，则点在( )
A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上
4.在正方体中，点，分别是线段，上的点不为端点，给出如下两个命题：对任意点，均存在点，使得；存在点，对任意的，均有则( )
A. 均正确 B. 均不正确
C. 正确，不正确 D. 不正确，正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.“平面经过直线”用集合符号语言可表示为______．
6.已知，是空间的两条直线，那么“”是，相交的______条件．
7.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角为______．
8.若平面与平面平行，，，则与的位置关系是______．
9.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是______．
10.若斜线段是它在平面内射影长的倍，则与平面所成的角为______．
11.如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，且平面，则 ______．
12.在长方体，已知底面是边长为的正方形，点是的中点，直线与平面成角，则 ______．
13.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大．
14.如图所示，在空间四边形中，，，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为______．
15.如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是______．
16.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，是底面上一点若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点．
若，判断四边形的形状：
证明：和是异面直线．
18.本小题分
如图，在正方体中，，求：
异面直线与所成角的大小；
求直线到平面的距离．
19.本小题分
如图：已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．
Ⅰ证明与平面不垂直；
Ⅱ证明平面平面；
Ⅲ如果，二面角等于，求二面角的大小．
20.本小题分
如图，已知四边形为直角梯形，，，点是平面外一点，平面，且，是棱上的动点．
求证：平面；
若，求点到平面的距离；
当是的中点时，设平面与棱交于点，求的值及截面的面积．
21.本小题分
如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．
当为线段的中点时，
(ⅰ)求证：平面；
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；
记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得？若存在，求出；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.平面
6.既不充分也不必要条件
7.
8.平行或异面
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意可得线段是的中位线，
所以且，
同理可得且，
即，，
所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，
所以，
故平行四边形为菱形；
证明：假设和不是异面直线，
则与平行或相交，
即与确定一个平面，
则，，，，
这与四边形为空间四边形矛盾，
故AC和是异面直线．
18.解：在正方体中，，
即为异面直线与所成角或其补角，
，由勾股定理得，
故，；
连接交于，则，
平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
线段为所求距离，则点到平面的距离为．
19.解：Ⅰ若平面分，
则分，
由已知，
得，
这与矛盾，所以与平面不垂直．分
Ⅱ取、的中点、，连接、、分，
由，，得，
分
为直角梯形的中位线，
，又，
平面，分
由平面，得，又且梯形两腰、必交，
平面分
又平面，
平面平面分
Ⅲ由Ⅱ及二面角的定义知为二面角的平面角分
作于，连，
由三垂线定理得，
故为二面角的平面角分
即，
由已知，得，
又．
，
≌分
，
故二面角的大小为分
20.解：证明：四边形为直角梯形，，
又平面，且平面，
所以平面；
因为四边形为直角梯形，，，
又平面，且，
所以，则，
过作的垂线，垂足为，则和平行，
因为平面，所以平面，
即为所求距离，，
因为平面，，平面，
所以，，
所以，
因为，所以，
，
所以，
即，解得：；
作点满足，则，，，四点共面，
作的中点，则，
所以，
所以四边形是平行四边形，则，又，
所以，即，，，四点共面，平面平面，
则与平面的交点必定在上，
所以与的交点即为与平面的交点，
所以，所以，
由知，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以，所以四边形是矩形，
，，
所以四边形的面积，
所以四边形的面积为．

21.解：由题意，四边形为直角梯形，且，，
所以，所以，
取的中点，连接，则且，且，
故四边形为矩形，
则，且，所以，
又由，所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，则，所以，
又，、平面，所以平面．
取的中点为，的中点为，连接、、，
过在平面内作垂直于，垂足为，
又平面平面，平面平面，，
所以平面，为的中点，
所以，所以平面，平面，所以，
又因为，，、平面，
所以平面，平面，
所以，，，平面，
得平面，因为，，，
所以，
由等面积法可得，
延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，
设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
则，所以，
由，所以，；
假设存在点，使得，延长与交于点，连接，
则平面平面，
设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角，
因为且，所以，点为的中点，则，
过点作垂直于，垂足为，
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，
是二面角的平面角，
所以，，
由，得，所以、重合，由，得，
设，则，，
由勾股定理可得，
即，整理可得，
解得或舍，
所以存在点，当，有成立．

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