2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高二（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：，：的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是( )
A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是等腰三角形
C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形
4.焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，边长为的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列命题中，不正确的命题是( )
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
8.某农学院计划从种不同的水稻品种和种不同的小麦品种中，选种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 椭圆离心率为
B.
C. 若，则的面积为
D. 最大值为
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11.现安排甲、乙、丙、丁、戊这名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是( )
A. 不同安排方案的种数为
B. 若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
D. 若每项工作至少有人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆：与圆：相交于、两点，则 ______．
13.已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为______．
14.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
求圆的方程；
经过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程．
16.本小题分
已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为过点的直线与的右支交于、两点，设直线，，的斜率分别为，，．
若，求；
证明：为定值．
17.本小题分
如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点．
若是的中点，求证：平面；
若平面，求的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ在棱上是否存在点与，不重合，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知
若，求中含项的系数；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.垂直
15.解：设圆的方程为，
由已知得，解得，，，
所以圆的方程为，即；
若直线存在斜率，可设方程为，即，
由已知圆心到直线的距离，解得，
此时，直线的方程为，即；
若直线斜率不存在，则的方程为，将其代入，
可得或，即得，，满足条件，
综上所述，直线的方程为或．
16.解：由题意得：，则，
又，解得：，
所以的标准方程为：，又，
所以直线，
联立方程组化简得：，
解得或舍，
所以，又直线过点，
所以直线的方程为：，则，
所以；
证明：设，，
则，又，
所以，
设直线：，
联立方程组化简得，
则，
故
，
所以为定值．
17.解：证明：建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，
，，
，，
又，平面，平面，
平面；
设的长为，则，点，
，
由可知，
设平面的法向量为，
则，
取得，，
，
，且平面，
，
即，
解得，
即的长为．
18.解：Ⅰ证明：，，
，
平面面，
，
面，面，，
平面；
Ⅱ以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，即
则可取，
，，
平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅲ设，设，，
，
可得，，，
，
，
，，解得，
．
19.解：，
，
故中含项的系数为．
证明：，
令．
则函数中含项的系数为 ，分
同乘，由错位相减法得：，
，
中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为，分
，
所以 分
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