2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，正确的是( )
A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一直线的两个平面平行
2.若是关于的实系数方程的一个复数根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，设为正四面体表面含棱上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.复数满足，则 ______．
6.等比数列中，若，，则 ______．
7.已知，是空间的两条直线，那么“”是，相交的______条件．
8.以下各项属于公理的是______．
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
平行于同一条直线的两条直线平行．
如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．
9.设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前项的和 ______．
10.水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______．
11.已知，，在上的投影向量的坐标为______．
12.空间四边形，，、、分别为、、的中点，若异面直线和成的角，则 ______．
13.已知数列满足，则 ______．
14.在中，，，则面积为______．
15.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______．
16.已知异面直线，所成角为，直线与，均垂直，且垂足分别是点，若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，．
求；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图，在长方体中，，分别是和的中点．
证明：，，，四点共面；
证明：，，三线共点．
19.本小题分
亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉如图假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体如图一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为米，底面半径为米．
求几何体的体积；
如图，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求．
20.本小题分
如图，四边形是矩形，，，平面，，点为线段的中点．
求证：平面；
Ⅱ求证：平面 ；
Ⅲ求和平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：；
求二面角；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角，并说明点此时所在的位置．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.既不充分也不必要条件
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.解：，，，
则，
故；
，
则，即，解得．
18.证明：如图，连接，，，
是的中位线，，
与平行且相等，四边形是平行四边形，
，，
，，，四点共面；
，且，直线和相交，
延长，，设它们相交于点，
直线，直线平面，平面，
直线，直线平面，平面，
平面平面，，
，，三线共点．
19.解：圆柱的体积，
圆锥的体积为，
几何体的体积；
连接，，
根据题意可得，
为圆柱母线和圆锥母线所成的角，
，，，
，
圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为．
又，
，，
故该亭子满足建筑要求．
20.Ⅰ证明：如图，
由平面，可得，
又由，而，平面，平面，
故CE平面；
Ⅱ证明：连结交于，连结，由点为线段的中点，
可得，而平面，平面，故DE平面；
Ⅲ解：由Ⅰ知，平面，即为和平面所成的角．
由已知，，，
在直角三角形中，可得．
即和平面所成角的正弦值为．
21.证明：因为点在底面上的射影是与的交点，
所以平面，
又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：过作于，连接，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
由题意知，是边长为的等边三角形，
所以，
由，知，
在中，，即，
所以二面角的大小为．
解：因为，且平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
因为，
所以，即，
所以，即到平面的距离为，
设直线与平面所成的角为，则，
要使最大，则需使最小，此时，
由对称性知，，
所以，，即，
故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为．
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