2024-2025学年湖北省武汉四中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉四中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，，是空间中的五个点，其中点，，不共线，则“存在实数，，使得是“平面”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.图中的直线，，的斜率分别是，，，则有( )
A. B. C. D.
3.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各只，从兔窝中每次摸取只，有放回地摸取次，则次摸取的颜色不全相同的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量为，为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题：若向量满足，则向量的夹角是钝角；若是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底；若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为；已知向量，，则向量在向量上的投影向量是；其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知某运动员每次射击击中目标的概率为现采用随机模拟的方法估计某运动员射击次，至少击中次的概率先由计算器给出到之间取整数值的随机数，指定，表示没有击中目标，，，，，，，，表示击中目标，以个随机数为一组，代表射击次的结果，经随机模拟产生了组随机数：
根据以上数据估计该射击运动员射击次，至少击中次的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知电路中个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
8.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是( )
A. B. 是等边三角形
C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题：对立事件一定是互斥事件；若，为两个随机事件，则；若事件，满足，，，则，相互独立；若事件，满足，则与是对立事件其中错误的命题是( )
A. B. C. D.
10.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C.
D. 异面直线与所成角的余弦值为
11.如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点点与点，不重合，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为
D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，，则 ______．
13.如图所示，在平行六面体中，，，，则 ______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得分，答错一题得分已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中名选手答对题的概率分别为在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，点，，分别是线段，，的中点设，，．
用基底表示向量．
棱上是否存在一点，使得？若存在，指出的位置；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知不透明的盒子中装有标号为，，的小球各个小球除颜色、标号外均相同．
若一次取出个小球，求取出的个小球上标号均不相同的概率；
若有放回地先后取出个小球，求取出的个小球上标号不相同的概率．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，且．
若点在上，且平面，证明：为的中点；
已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值．
19.本小题分
某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立．
求比赛进行四局结束的概率；
求甲获得比赛胜利的概率．
参考答案
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15.解：因为，，
所以；
假设棱上存在点，使得，设，
因为，，
由于，所以，解得，所以，解得，
所以棱上不存在一点，使得．
16.解：分别记个小球为，，，，，，
从中任取个小球有个基本事件，分别为：
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，
个小球上标号均不相同的基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，
取出的个小球上标号均不相同的概率为；
有放回地先后取出个小球，总的取法有种，
个小球上标号相同的取法有个，分别为：
，，，，，，，，，，，
取出的个小球上标号不相同的概率为：
．
17.解：证明：连接，，，，
平面平面，又平面平面，
平面，，
在矩形中，易知，则，即，又，
平面，又平面，
；
取的中点，连接，
由及题意易知，，两两垂直，故建系如图：
，，
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
，；
由知平面的一个法向量为，，
，
点到平面的距离为，
又，直线的一个单位方向向量为，
，
点到直线的距离为，
．
18.解：因为在四棱锥中，，
，，
所以，，，
在直角三角形中，，
又因为，为的平分线，
延长、交于点，连接，
在中，，所以，是等腰三角形，
所以，点是的中点，
因为直线平面，过的平面与平面的交线为，则，
因为是的中点，所以是的中点．
在中，，，，则，即，
由已知得，，
又平面平面，平面，所以平面，
因为平面，即，
所以，为二面角的平面角，所以，
又，所以为正三角形，
取的中点为，连，则，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于直线的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设分别为平面和平面的法向量，
则，取，则，，取，则，
所以，
则，
故，
所以平面与平面夹角的正切值为．
19.解：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜，
第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率，
第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率，
故比赛进行四局结束的概率；
设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件，
比赛进行三局，甲获胜的概率为，
比赛进行五局，有以下种情况：，，，，，，
甲获胜的概率为，
比赛进行七局，有一下种情况：，，，，，，，，
甲获胜的概率为，
故甲获得比赛胜利的概率为．
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