2024-2025学年天津市武清区杨村一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市武清区杨村一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.已知直线：，：，：，，，，，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.已知圆：，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知点，，若直线：与线段有公共点，则实数的取值范围( )
A. B. 或
C. 或 D.
5.已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围( )
A. B. C. D.
6.已知圆与圆有条公切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为( )
A. B. C. D.
9.已知为直线：上一点，过点作圆：的切线点为切点，为圆：上一动点则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知直线过点，若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程是______．
11.过原点且与圆相切的直线方程是______．
12.若圆与圆的公共弦长为，则 ______．
13.已知点和直线：，则点到直线的距离的取值范围是______．
14.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
15.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点．
求边所在直线的方程；
求对角线所在直线的方程．
17.本小题分
如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
证明：．
求直线与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
已知直线：，圆：．
试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；
若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且．
证明：平面；
当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离．
20.本小题分
如图，经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为．
当点坐标为时，求直线的方程；
在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
求四边形的面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.或
12.
13.
14.
15.
16.解：由菱形的性质可知，
则，
故AD边所在直线的方程为，即；
线段的中点为，，
由菱形的几何性质可知，且为的中点，
则，
故对角线所在直线的方程为，即．
17.解：证明：如图，取的中点，因为，所以，
以为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系．
由题意知各点坐标：，，，，．
因此，，．
由，得，得，
因为，所以平面；
设直线与平面所成的角为，
由可知，，，，
设平面的法向量，
由，取，则，，所以，
所以，
因此直线与平面所成的角的正弦值是．
18.解：直线：，整理得，
所以直线经过与的交点，由解得，可得直线恒过定点．
因为，
所以点在圆内部，可知直线与圆相交；
圆：，圆心为，半径，
由圆的性质，可知当与直线垂直时，弦长最小，此时，
所以当取最小值时，直线的斜率，可得直线的方程为，即．
由圆心到直线的距离为，可知，
所以弦长的最小值为，相应直线的方程为．
19.解：连接，交于点，连结，
因为，
所以，又，
所以，所以，
因为面，面，
所以平面．
以为原点，，、所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可取，
平面的法向量可取，所以，
得，
因为，，
与同向的单位向量，
所以点到直线的距离为．
20.解：为，，
的斜率为，又，
的斜率为，又，
直线的方程，即；
假设在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有，
当直线斜率不存在时，因为圆的圆心在轴上，
所以，关于轴对称，则轴上任一点都有；
当直线斜率存在时，因为过原点，
则设直线方程为，联立圆：，
消去得，设，，
则，
设，则，，
要使得，则，
即
，
即，
即，解得，
即存在，使得当直线变化时，均有．
综上所述，在轴上存在点，使得当直线变化时，均有．
设圆心到直线的距离平方为，则，即，
设圆心到直线的距离平方为，
根据圆的几何性质及平面几何知识易得，，
又，，
四边形的面积
，又，
，即，
四边形的面积的取值范围为
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