2024-2025学年江苏省镇江市句容高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省镇江市句容高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
3.如果数列的前项和满足：，那么的值为( )
A. B. C. D.
4.设各项均为正数的等比数列满足，则等于( )
A. B. C. D.
5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为( )
A. B. C. D. 或
7.记为数列的前项积，已知，则( )
A. B. C. D.
8.设等比数列前项和为，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 经过点，的直线方程均可用表示
D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为
10.已知等差数列和的前项和分别为和，且，，则下列结论正确的有( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 使为整数的正整数的个数为 D. 的最小值为
11.数列前项和为，且满足，，则( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若平面内三点，，共线，则实数 ______．
13.已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是______．
14.如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图，如此继续下去，得图，记为第个图形的周长，记为第个图形的面积，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为实数，直线：在轴、轴上截距之和等于，且与轴的交点记作．
求点的坐标；
直线过点且倾斜角是直线倾斜角的倍，求直线的方程．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
设正项数列的前项和为，且，当时，，
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设数列满足，求的前项和．
18.本小题分
已知函数，数列满足，，．
求数列的通项公式；
设，求；
对于中的，若存在，使得成立，求实数的最大值．
19.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
证明：；
令，数列的前项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
参考答案
1.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.或或
13.
14.
15.解：因为，令，可得，
令，可得，
由题意可得，
解得，
所以点的坐标为；
由可知，所以有直线：，即，
设直线倾斜角为，则有，
所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为，
则有，
所以直线直线的方程为：，
整理可得：．
16.解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以．
由知，，可得，
当，时，；当，时，，
当，时，；
当，时，
，
综上可得，数列的前项和．
17.解：当时，，则，
因为为正项数列的前项和，且，
所以，，
所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，则有，
当时，，
又也适合，
故数列的通项公式为；
当时，得，所以；
由，
当时，得，
得，则有，
，
可得数列的通项公式为
当时，
当时，，
经验证，当时，
故．

18.解：由于，
因此，
因此数列是以为公比，为首项的等比数列，
因此；
根据第一问所求：，
又因为，
因此；
根据第二问所求：，
因此根据，
由于，
因此根据，
设，
根据，
根据二次函数基本性质可得：当时，为减函数，
因为，，
因此有，时，，
因此，，所以，
因此存在，使成立，因此有，
所以实数的最大值即为．
19.解：因为是公差为的等差数列，
所以，
则有，
当时，，两式相减，得，
利用叠乘法，首项符合通项，
即；
证明：由可知，
，
于是有
；
解：由可知：，
所以，
于是有，
，
当时，显然上述不等式的没有正整数解，即，
当时，显然上述不等式的正整数解为，即，
当时，显然上述不等式的正整数解为，，，，，，，即，
于是．
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