2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（A卷）（含答案）

2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考
数学试卷（10月份）（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知一条入射光线经过，两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，，是边长为的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线与：平行，则( )
A. 或 B. C. D.
7.已知点，点为曲线上一动点，记过，两点的直线斜率为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在四面体中，，平面，，点，分别为棱，上的点，且，则直线与直线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个随机事件，若，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，相互独立
D. 若，相互独立，则
10.已知，直线的方程为，则( )
A. ，使得直线与直线垂直
B. 当直线在轴上的截距为时，在轴上的截距为
C. ，直线不过原点
D. 当时，直线的斜率的取值范围为
11.在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与，，轴的正方向同向的单位向量空间向量，记，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则三棱锥的体积为
D. 若，且，则夹角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组样本数据：，，，，，，，，，的分位数为______．
13.已知经过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程为______．
14.在棱长为的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点，分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过点，且与轴，轴分别交于点，．
当时，求的方程；
若，，求当取最小值时，的方程．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，，，分别为，的中点，记．
用向量表示；
求点到直线的距离．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若的面积为，点为边上一点，且，求线段的长度．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．
证明：；
当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
当二面角的余弦值为时，求．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
求经过，的直线的点方向式方程；
已知平面：，平面：，平面：，若，，证明：；
已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
参考答案
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15.解：直线过点，且与轴，轴分别交于点，．
若，则，即过点，又过点，则的方程为，即，
若，则，设的方程为，所以，
将代入方程，得，解得，所以的方程为，即．
所以直线的方程为或．
设直线的方程为，由直线经过点得，，
则，
当且仅当，即时取得等号，故，
所以的方程为，即．
16.解：因为，分别为，的中点，
所以，
，
因为，
所以．
由得，
，
，
所以点到的距离．
17.解：由及正弦定理，得，
可得，
由，
由余弦定理可得，即，
可得；
由可知，由，得，
因为的面积为，所以，
解得，
所以，
又，所以，
在中，，
所以在中，．
即的长为．
18.解：证明：因为，
所以，
所以，
又，且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，所以，
则．
由可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
当点为棱的中点时，，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，解得，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
由可知，
设，
则，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，解得，，
故，
设平面的一个法向量为，
则，则，得，
令，解得，，
故，
所以，
即，
整理，得，
解得或舍去，
故．
19.解：，，
直线的方向向量为，
直线的点方向式方程为；
证明：由平面为：，
平面的法向量为，
由平面为：，
平面的法向量为，
设交线的方向向量为，
则根据题意可得，取，
又平面：的法向量为，
，又，
；
设侧面所在平面的法向量，
又平面经过三点，，，
，
，，取，
又平面：的法向量为，
由可求得平面与平面的交线的方向向量为，
平面：的法向量为，
由，
解得，，
，
平面与平面夹角的大小为．
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