2024-2025学年河南新乡市河南师范大学附属中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在中，若，，，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
3.三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内的任何直线都与平行
C. 且 D. 且
5.已知点，在直线：和轴上各找一点和，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部包括边界任意一点，若，那么的最大值是( )
A. B.
C. D.
8.已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是( )
A. B. C. D.
10.设为夹角为的两个单位向量，则( )
A.
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 对任意的实数有恒成立
11.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是经过点的半圆弧上的动点不包括端点，点是经过点的半圆弧上的动点不包括端点，则下列说法正确的是( )
A. 四面体的体积的最大值为
B. 的取值范围是
C. 若二面角的平面角为，则
D. 若三棱锥的外接球表面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，：互相垂直，则的值为______．
13.在中，角，，的对边分别为，，，且，，则 ______．
14.如图，在正方体中，，点，分别为，的中点，则平面截正方体所得截面面积为______，动点满足，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．
求点到直线的距离；
求点到平面的距离．
16.本小题分
如图，已知的顶点为，，是边的中点，是边上的高，是的平分线．
求高所在直线的方程；
求所在直线的方程．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
18.本小题分
如下图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；
求证：；
若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中；为坐标原点．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线：上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
则，，
点到直线的距离为：
．
设平面的法向量为，
，，，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
16.解：的顶点为，，是边的中点，
可得，，
，
，
，
高线所在的直线方程是 ，
即高线所在的直线方程是．
设上的任意一点，又直线方程为：，直线的方程为，
点到直线距离等于点到直线距离，，解得或外角平分线舍去
角平分线所在直线方程为：．
17.解：由及正弦定理，
可得，
又，
则有，
又，，所以，
即，又，
所以，即；
由为的平分线，可得，
由，
可得，
整理得，即，
由余弦定理，可得，
即，
由可得：，解得或舍去，
故．
18.解：因为，，
所以，即，，，，平面，
平面，平面，
所以．
因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，，平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
，
设平面法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
设二面角为，
，
，
；
以，，为，轴，过作的垂线为轴，
设
，
，
得出，
设平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
因为，
所以，
所以正弦值的取值范围．
19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值，
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，可得；
点在线段上运动时，此时与同向，取，
则，
因为，所以的最大值为．
易知，设 ，则 ，
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，：和．
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