2024-2025学年湖南省名校大联考高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省名校大联考高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上除左、右顶点外的一动点，则的面积最大为( )
A. B. C. D.
3.设，直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知点为直线上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图，在异面直线，上分别取点，和，，使，，，且，，若，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.已知点为椭圆上任意一点，则点到直线：的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署如图是年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是( )
A. 从年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B. 从年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是年
C. 这年中国海洋生产总值的极差为
D. 这年中国海洋生产总值的分位数是
10.已知圆：与圆：相交于，两点点在第一象限，则( )
A. 直线的方程是
B. ，，，四点不共圆
C. 圆的过点的切线方程为
D.
11.在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，在同一球面上，则
B. 若平面，则
C. 若点到，，，四点的距离相等，则
D. 若平面，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：在轴上的截距为，则 ______．
13.已知，则 ______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为，直线经过点和．
若，求的值；
若当变化时，总过定点，求．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的面积为，求．
17.本小题分
已知圆，点关于直线：的对称点为．
求的方程；
若与圆相交于，两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点不含端点，且．
证明：平面平面．
设，则当为何值时，的长度最小？
当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点．
求的方程．
过点且不与轴重合的动直线与相交于，两点，的中点为．
证明：直线与的斜率之积为定值；
当的面积最大时，求直线的方程．
参考答案
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15.直线经过点和，所以，
所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，，
所以，解得或．
直线的方程为可以改写为，
由，解得，
所以总过定点，
点，
故．
16.解：由，由正弦定理可得：，
又，，可得，
即，
可得，
又，所以，
所以，
解得；
因为，由知，所以，
由正弦定理，
可得，
又因为，
所以，
又的面积为，
所以，
整理得到，
解得．
17.解：因为点关于直线的对称点为，
所以，解得，
又中点为，
则，解得，
所以直线的方程为．
因为圆的圆心为，
由点到直线的距离公式得，
解得或，当时，圆：，不合题意，舍去，
所以，圆：，即，
由，消去得，
设，，
解得，
设圆的圆心为，半径为，又圆与圆相切，切点在劣弧上，
则，得到，
又，所以当时，圆的半径最大，最大值为．

18.解：证明：由于，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
作交于，连接，
由于平面，故平面，平面，故，
，故，
，故，又易知是等腰直角三角形，
由余弦定理可得
，
故，
故当时，此时的最小值为．
由于，故AB，
以为坐标原点，以，所在的直线分别为和轴，
以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
当时，，分别为，的中点，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，则，即，
取，可得平面的一个法向量，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的所成角为，则，
故平面与平面的所成角的余弦值为．
19.解：由已知，得解得
故E的方程为．
证明：由题可设：，，
联立，消去得．
当，即时，有．
所以，即，
所有，所以，
即直线与的斜率之积为定值．
由可知
，
又点到直线的距离，
所以的面积．
设，则，
，，
当且仅当，即时等号成立，且满足．
所以当的面积最大时，直线的方程为或．
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